高中数学人教A版必修四课时训练12任意角的三角函数122Word版含答案

1．2.2同角三角函数的基本关系课时目标1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________(α≠kπ＋π2，k∈Z)．2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝________；cos2α＝________；(sinα＋cosα)2＝____________________；(sinα－cosα)2＝________________；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝______；sinα·cosα＝______________________＝________________________.(2)tanα＝sinαcosα的变形公式：sinα＝________________；cosα＝______________.一、选择题1．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是()A.14B.12C．1D.322．若sinα＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α等于()A．0B．1C．2D．33．若sinα＝45，且α是第二象限角，则tanα的值等于()A．－43B.34C．±34D．±434．已知tanα＝－12，则1＋2sinαcosαsin2α－cos2α的值是()A.13B．3C．－13D．－35．已知sinα－cosα＝－52，则tanα＋1tanα的值为()A．－4B．4C．－8D．86．若cosα＋2sinα＝－5，则tanα等于()A.12B．2C．－12D．－2二、填空题7．已知α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα＝________.8．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝________.9．已知sinαcosα＝18且π4απ2，则cosα－sinα＝____.10．若sinθ＝k＋1k－3，cosθ＝k－1k－3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为________．三、解答题11．化简：1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.12．求证：1－2sin2xcos2xcos22x－sin22x＝1－tan2x1＋tan2x.能力提升13．证明：(1)1－cos2αsinα－cosα－sinα＋cosαtan2α－1＝sinα＋cosα；(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．14．已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)．(1)求sin3θ＋cos3θ的值；(2)求tanθ＋1tanθ的值．1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，sin8αcos8α＝tan8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．1．2.2同角三角函数的基本关系答案知识梳理1．(1)sin2α＋cos2α＝1(2)tanα＝sinαcosα2．(1)1－cos2α1－sin2α1＋2sinαcosα1－2sinαcosα2sinα＋cosα2－121－sinα－cosα22(2)cosαtanαsinαtanα作业设计1．C2.B3.A4．C[1＋2sinαcosαsin2α－cos2α＝sinα＋cosαsinα＋cosαsinα＋cosαsinα－cosα＝sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝－12＋1－12－1＝－13.]5．C[tanα＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝1sinαcosα.∵sinαcosα＝1－sinα－cosα22＝－18，∴tanα＋1tanα＝－8.]6．B[方法一由cosα＋2sinα＝－5cos2α＋sin2α＝1联立消去cosα后得(－5－2sinα)2＋sin2α＝1.化简得5sin2α＋45sinα＋4＝0∴(5sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－255.∴cosα＝－5－2sinα＝－55.∴tanα＝sinαcosα＝2.方法二∵cosα＋2sinα＝－5，∴cos2α＋4sinαcosα＋4sin2α＝5，∴cos2α＋4sinαcosα＋4sin2αcos2α＋sin2α＝5，∴1＋4tanα＋4tan2α1＋tan2α＝5，∴tan2α－4tanα＋4＝0，∴(tanα－2)2＝0，∴tanα＝2.]7．－5138.45解析sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1，又tanθ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.9．－32解析(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝34，∵π4απ2，∴cosαsinα.∴cosα－sinα＝－32.10.34解析∵sin2θ＋cos2θ＝k＋1k－32＋k－1k－32＝1，∴k2＋6k－7＝0，∴k1＝1或k2＝－7.当k＝1时，cosθ不符合，舍去．当k＝－7时，sinθ＝35，cosθ＝45，tanθ＝34.11．解原式＝1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α＝1－cos2α1＋cos2α－sin4α1－cos2α1＋cos2α＋cos4α－sin6α＝sin2α1＋cos2α－sin4αsin2α1＋cos2α＋cos4α－sin6α＝1＋cos2α－sin2α1＋cos2α＋cos4α－sin4α＝2cos2α1＋cos2α＋cos2α＋sin2αcos2α－sin2α＝2cos2α1＋cos2α＋cos2α－sin2α＝2cos2α3cos2α＝23.12．证明左边＝cos22x＋sin22x－2sin2xcos2xcos22x－sin22x＝cos2x－sin2x2cos2x－sin2xcos2x＋sin2x＝cos2x－sin2xcos2x＋sin2x＝1－tan2x1＋tan2x＝右边．∴原等式成立．13．证明(1)左边＝sin2αsinα－cosα－sinα＋cosαsin2αcos2α－1＝sin2αsinα－cosα－sinα＋cosαsin2α－cos2αcos2α＝sin2αsinα－cosα－cos2αsinα＋cosαsin2α－cos2α＝sin2αsinα－cosα－cos2αsinα－cosα＝sin2α－cos2αsinα－cosα＝sinα＋cosα＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α∴左边＝右边，∴原式成立．14．解(1)由韦达定理知：sinθ＋cosθ＝a，sinθ·cosθ＝a.∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴a2＝1＋2a.解得：a＝1－2或a＝1＋2∵sinθ≤1，cosθ≤1，∴sinθcosθ≤1，即a≤1，∴a＝1＋2舍去．∴sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(sinθ＋cosθ)(1－sinθcosθ)＝a(1－a)＝2－2.(2)tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝sin2θ＋cos2θsinθcosθ＝1sinθcosθ＝1a＝11－2＝－1－2.