高中数学人教A版必修四课时训练32简单的三角恒等变换32Word版含答案

§3.2简单的三角恒等变换课时目标1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．1．半角公式(1)Sα2：sinα2＝____________________；(2)Cα2：cosα2＝____________________________；(3)Tα2：tanα2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)．2．辅助角公式使asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)成立时，cosφ＝__________________，sinφ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．一、选择题1．已知180°α360°，则cosα2的值等于()A．－1－cosα2B.1－cosα2C．－1＋cosα2D.1＋cosα22．函数y＝sinx＋π3＋sinx－π3的最大值是()A．2B．1C.12D.33．函数f(x)＝sinx－cosx，x∈0，π2的最小值为()A．－2B．－3C．－2D．－14．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是()A.π6B.π3C.π2D.2π35．函数f(x)＝sinx－3cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A.－π，－5π6B.－5π6，－π6C.－π3，0D.－π6，06．若cosα＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于()A．－12B.12C．2D．－2题号123456答案二、填空题7．函数f(x)＝sin(2x－π4)－22sin2x的最小正周期是______．8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________．9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于____．三、解答题11．已知函数f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．12．已知向量m＝(cosθ，sinθ)和n＝(2－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝825，求cosθ2＋π8的值．能力提升13．当y＝2cosx－3sinx取得最大值时，tanx的值是()A.32B．－32C.13D．414．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tanφ＝ba(或sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2)．3．研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sinx±cosx＝2sinx±π4；sinx±3cosx＝2sinx±π3等．§3.2简单的三角恒等变换知识梳理1．(1)±1－cosα2(2)±1＋cosα2(3)±1－cosα1＋cosαsinα1＋cosα1－cosαsinα2.aa2＋b2ba2＋b2点(a，b)作业设计1．C2．B[y＝2sinxcosπ3＝sinx．]3．D[f(x)＝2sinx－π4，x∈0，π2.∵－π4≤x－π4≤π4，∴f(x)min＝2sin－π4＝－1.]4．D[f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)＝2sin2x＋π3＋θ.当θ＝23π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x.]5．D[f(x)＝2sinx－π3，f(x)的单调递增区间为2kπ－π6，2kπ＋56π(k∈Z)，令k＝0得增区间为－π6，56π.]6．A[∵α是第三象限角，cosα＝－45，∴sinα＝－35.∴1＋tanα21－tanα2＝1＋sinα2cosα21－sinα2cosα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2·cosα2＋sinα2cosα2＋sinα2＝1＋sinαcosα＝1－35－45＝－12.]7．π解析f(x)＝22sin2x－22cos2x－2(1－cos2x)＝22sin2x＋22cos2x－2＝sin(2x＋π4)－2，∴T＝2π2＝π.8.459解析设α为该等腰三角形的一底角，则cosα＝23，顶角为180°－2α.∴sin(180°－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝21－232·23＝459.9．3解析设该等腰三角形的顶角为α，则cosα＝45，底角大小为12(180°－α)．∴tan12180°－α＝tan90°－α2＝1tanα2＝1＋cosαsinα＝1＋4535＝3.10.725解析由题意，5cosθ－5sinθ＝1，θ∈0，π4.∴cosθ－sinθ＝15.由(cosθ＋sinθ)2＋(cosθ－sinθ)2＝2.∴cosθ＋sinθ＝75.∴cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＝725.11．解(1)∵f(x)＝3sin2x－π12＋1－cos2x－π12＝232sin2x－π12－12cos2x－π12＋1＝2sin2x－π12－π6＋1＝2sin2x－π3＋1，∴T＝2π2＝π.(2)当f(x)取得最大值时，sin2x－π3＝1，有2x－π3＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋5π12(k∈Z)，∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋5π12，k∈Z}．12．解m＋n＝(cosθ－sinθ＋2，cosθ＋sinθ)，|m＋n|＝cosθ－sinθ＋22＋cosθ＋sinθ2＝4＋22cosθ－sinθ＝4＋4cosθ＋π4＝21＋cosθ＋π4.由已知|m＋n|＝825，得cosθ＋π4＝725.又cosθ＋π4＝2cos2θ2＋π8－1，所以cos2θ2＋π8＝1625.∵πθ2π，∴5π8θ2＋π89π8.∴cosθ2＋π80.∴cosθ2＋π8＝－45.13．B[y＝2cosx－3sinx＝13213cosx－313sinx＝13(sinφcosx－cosφsinx)＝13sin(φ－x)，当sin(φ－x)＝1，φ－x＝2kπ＋π2时，y取到最大值．∴φ＝2kπ＋π2＋x，(k∈Z)∴sinφ＝cosx，cosφ＝－sinx，∴cosx＝sinφ＝213，sinx＝－cosφ＝－313.∴tanx＝－32.]14．解3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos60°＋5cos(x＋20°)sin60°＝112sin(x＋20°)＋532cos(x＋20°)＝1122＋5322sin(x＋20°＋φ)＝7sin()x＋20°＋φ其中cosφ＝1114，sinφ＝5314.所以f(x)max＝7.