高中数学人教A版必修四课时训练第三章三角恒等变换章末检测AWord版含答案

第三章三角恒等变换(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(cosπ12－sinπ12)(cosπ12＋sinπ12)等于()A．－32B．－12C.12D.322．函数y＝sin2x＋π3·cosx－π6＋cos2x＋π3·sinπ6－x的图象的一条对称轴方程是()A．x＝π4B．x＝π2C．x＝πD．x＝3π23．已知sin(45°＋α)＝55，则sin2α等于()A．－45B．－35C.35D.454．y＝sin2x－π3－sin2x的一个单调递增区间是()A.－π6，π3B.π12，7π12C.5π12，13π12D.π3，5π65．已知θ是锐角，那么下列各值中，sinθ＋cosθ能取得的值是()A.43B.34C.53D.126．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于()A．－12B.12C．－32D.327．已知tan2θ＝－22，π2θ2π，则tanθ的值为()A.2B．－22C．2D.2或－228．函数y＝sinx－cosx的图象可以看成是由函数y＝sinx＋cosx的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是()A．向左平移π2个单位B．向右平移π4个单位C．向右平移π2个单位D．向左平移π4个单位9．设a＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°，b＝2cos213°－1，c＝32，则有()A．cabB．bcaC．abcD．bac10．化简1＋sin4α－cos4α1＋sin4α＋cos4α的结果是()A.1tan2αB．tan2αC.1tanαD．tanα11．如图，角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴，终边经过点P(－3，－4)．角β的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，且tanβ＝－2，则cos∠POQ的值为()A．－55B．－11525C.11525D.5512．设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．定义一种向量积：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝(2，12)，n＝(π3，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动．且满足OQ→＝m⊗OP→＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为()A．2，πB．2,4πC.12，4πD.12，π题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.3tan15°＋13－tan15°的值是________．14．已知sinα＝cos2α，α∈(π2，π)，则tanα＝________.15．函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的最大值为________．16．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0απ2，πβ3π2.求：tan(α＋β)及α＋β的值．18．(12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．19．(12分)已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈3π2，2π，且a⊥b.(1)求tanα的值；(2)求cosα2＋π3的值．20．(12分)已知函数f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x.(1)求f(x)的周期和单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈π4，π2上有解，求实数m的取值范围．21．(12分)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈[π4，π2]，求cos2x0的值．22．(12分)已知0απ2βπ，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．第三章三角恒等变换(A)答案1．D[(cosπ12－sinπ12)(cosπ12＋sinπ12)＝cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32.]2．C[y＝sin2x＋π3－x－π6＝sinπ2＋x＝cosx，当x＝π时，y＝－1.]3．B[sin(α＋45°)＝(sinα＋cosα)·22＝55，∴sinα＋cosα＝105.两边平方，∴1＋sin2α＝25，∴sin2α＝－35.]4．B[y＝sin2x－π3－sin2x＝sin2xcosπ3－cos2xsinπ3－sin2x＝－12sin2x－32cos2x＝－sin2x＋π3当x＝π12时，ymin＝－1；当x＝712π时，ymax＝1，且T＝π.故B项合适．]5．A[∵0θπ2，∴θ＋π4∈π4，3π4，又sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π4，所以22sinθ＋π4≤1，1sinθ＋cosθ≤2.]6．B[sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝sin(90°＋73°)sin(270°－47°)＋sin(180°＋73°)sin(360°－47°)＝cos73°(－cos47°)－sin73°(－sin47°)＝－(cos73°cos47°－sin73°sin47°)＝－cos(73°＋47°)＝－cos120°＝12.]7．B[∵π2θ2π，∴π2θπ，则tanθ0，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－22，化简得2tan2θ－tanθ－2＝0，解得tanθ＝－22或tanθ＝2(舍去)，∴tanθ＝－22.]8．C[y＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4∴y＝sinx－cosx＝2sinx－π4＝2sinx－π2＋π4.]9．A[a＝sin62°，b＝cos26°＝sin64°，c＝sin60°.∵y＝sinx，x∈0，π2为递增函数，∴cab.]10．B[原式＝2sin22α＋2sin2αcos2α2cos22α＋2sin2αcos2α＝2sin2αsin2α＋cos2α2cos2αcos2α＋sin2α＝tan2α.]11．A[tanβ＝tan(π－θ1)＝－tanθ1＝－2，∴tanθ1＝2，tanθ2＝43.∴tan∠POQ＝tanθ1＋tanθ21－tanθ1tanθ2＝－2，∴π2∠POQπ.∴cos∠POQ＝－55.]12．C[OQ→＝m⊗OP→＋n＝(2，12)⊗(x，y)＋(π3，0)＝(2x＋π3，12y)，则xQ＝2x＋π3，yQ＝12y，所以x＝12xQ－π6，y＝2yQ，所以y＝f(x)＝12sin(12x－π6)．所以最大值A＝12，最小正周期T＝4π.]13．1解析∵3－tan15°3tan15°＋1＝tan60°－tan15°1＋tan60°tan15°＝tan45°＝1，∴3tan15°＋13－tan15°＝1.14．－33解析∵sinα＝cos2α＝1－2sin2α∴2sin2α＋sinα－1＝0，∴sinα＝12或－1.∵π2απ，∴sinα＝12，∴α＝56π，∴tanα＝－33.15.2＋1解析y＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝2sin(2x－π4)＋1，∴ymax＝2＋1.16．1解析∵cos(α＋β)＝sin(α－β)∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ∴cosα(sinβ＋cosβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)∵α、β均为锐角，∴sinβ＋cosβ≠0，∴cosα＝sinα，∴tanα＝1.17．解∵tanα、tanβ为方程6x2－5x＋1＝0的两根，∴tanα＋tanβ＝56，tanαtanβ＝16，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝561－16＝1.∵0απ2，πβ3π2，∴πα＋β2π，∴α＋β＝5π4.18．解(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－23)2－73，x∈R.因为cosx∈[－1,1]，所以，当cosx＝－1时，f(x)取得最大值6；当cosx＝23时，f(x)取得最小值－73.19．解(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.而a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0.由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0.解之，得tanα＝－43，或tanα＝12.∵α∈3π2，2π，tanα0，故tanα＝12(舍去)．∴tanα＝－43.(2)∵α∈3π2，2π，∴α2∈3π4，π.由tanα＝－43，求得tanα2＝－12或tanα2＝2(舍去)．∴sinα2＝55，cosα2＝－255，cosα2＋π3＝cosα2cosπ3－sinα2sinπ3＝－255×12－55×32＝－25＋1510.20．解(1)f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x＝1－cosπ2＋2x－3cos2x＝1＋sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3＋1，周期T＝π；2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，解得f(x)的单调递增区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．(2)x∈π4，π2，所以2x－π3∈π6，2π3，sin2x－π3∈12，1，所以f(x)的值域为[2,3]．而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]．21．解(1)由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)，所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin(2x＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f(0)＝1，f(π6)＝2，f(π2)＝－1，所以函数f(x)在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sin(2x0＋π6)．因为f(x0)＝65，所以sin(2x0＋π6)＝35.由x0∈[π4，π2]，得2x0＋π6∈[2π3，7π6]，从而cos(2x0＋π6)＝－1－sin22x0＋π6＝－45.所以cos2x0＝cos[(2x0＋π6)－π6]＝cos(2x0＋π6)cosπ6＋sin(2x0＋π6)sinπ6＝3－4310.22．解(1)tanα＝2tanα21－tan2α2＝43，所以sinαcosα＝43.又因为sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝45.(2)因为0απ2βπ，所以0β－απ.因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210.所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝7210×35＋210×45＝22.因为β∈π2，π，所以β＝3π4.