高中数学人教A版选修11第三章导数及其应用学业分层测评15Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1D．若y＝sinx＋cosx，则y′＝cosx＋sinx【解析】∵y＝sinx＋cosx，∴y′＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx．故选D.【答案】D2．函数y＝(x＋1)(x－1)的导数等于()A．1B．－12xC.12xD．－14x【解析】因为y＝(x＋1)(x－1)＝x－1，所以y′＝x′－1′＝1.【答案】A3．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x＋2【解析】∵y′＝x′x＋2－xx＋2′x＋22＝2x＋22，∴k＝y′|x＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.故选A.【答案】A4．已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D.12【解析】因为y′＝x2－3x，所以由导数的几何意义可知，x2－3x＝12，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．【答案】A5．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定【解析】∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x20＝1，得x0＝±33，即在点33，39和点－33，－39处有斜率为1的切线．故选B.【答案】B二、填空题6．已知f(x)＝52x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________.【导学号：26160079】【解析】因为f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－13，x2＝2.【答案】－13或27．若曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.【解析】∵y＝x－12，∴y′＝－12x－32，∴曲线在点(a，a－12)处的切线斜率k＝－12a－32，∴切线方程为y－a－12＝－12a－32(x－a)．令x＝0得y＝32a－12；令y＝0得x＝3a.∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12·3a·32a－12＝94a12＝18，∴a＝64.【答案】648．已知函数f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则fπ4的值为________．【解析】∵f′(x)＝－f′π4sinx＋cosx，∴f′π4＝－f′π4×22＋22，得f′π4＝2－1.∴f(x)＝(2－1)cosx＋sinx，∴fπ4＝1.【答案】1三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(x＋1)2(x－1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝ex＋1ex－1.【解】(1)法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.(2)y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ex－12＝exex－1－ex＋1exex－12＝－2exex－12.10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．【解】因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－32.所以f(x)＝x3－32x2－3x＋1，从而f(1)＝－52.又f′(1)＝2×－32＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：y－－52＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.[能力提升]1．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为()A.1eB．－1eC．－eD．e【解析】y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则y0＝kx0，y0＝ex0，k＝ex0，∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.故选D.【答案】D2．若f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2016(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx【解析】因为f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx，所以循环周期为4，因此f2016(x)＝f4(x)＝sinx.【答案】A3．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，则f′(0)＝________.【解析】因为f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋3)(x＋4)·(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)，所以f′(0)＝1×2×3×4×5＝120.【答案】1204．设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)求证：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.【导学号：26160080】【解】(1)7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3.当x＝2时，y＝12.又f′(x)＝a＋bx2，于是2a－b2＝12，a＋b4＝74，解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x.(2)证明：设点P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋3x2可知曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为：y－y0＝1＋3x20(x－x0)，即y－x0－3x0＝1＋3x20(x－x0)．令x＝0，得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为0，－6x0.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12·－6x0·|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x围成的三角形的面积为定值，此定值为6.