高中数学人教A版选修11第三章导数及其应用学业分层测评16Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y＝f(x)的图象如图3－3－4所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()图3－3－4【解析】由函数y＝f(x)的图象可知，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，函数f(x)均为减函数，故在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，f′(x)均小于0，故选D.【答案】D2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上()A．是增函数B．是减函数C．有最大值D．有最小值【解析】∵cosx≤1，∴f′(x)＝2－cosx0恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．【答案】A3．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞)D．(－3,1)【解析】y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex0，由于ex0，则－x2－2x＋30，解得－3x1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)．【答案】D4．已知函数f(x)＝x＋lnx，则有()A．f(2)f(e)f(3)B．f(e)f(2)f(3)C．f(3)f(e)f(2)D．f(e)f(3)f(2)【解析】因为在定义域(0，＋∞)上，f′(x)＝12x＋1x0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)f(e)f(3)．【答案】A5．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)【解析】由于f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥1x，而01x1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．【答案】D二、填空题6．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝________.【导学号：26160084】【解析】f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1x2是不等式f′(x)0的解，即－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b＝－32，c＝－6.【答案】－32－67．函数y＝ax3－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为________．【解析】y′＝3ax2≤0恒成立，解得a≤0.而a＝0时，y＝－1，不是减函数，∴a0.【答案】a08．在下列命题中，真命题是________．(填序号)①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意x∈(a，b)，都应有f′(x)0；②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；③若在(a，b)内对任意x都有f′(x)0，则f(x)在(a，b)内是增函数；④若可导函数在(a，b)内有f′(x)0，则在(a，b)内有f(x)0.【解析】对于①，可以存在x0，使f′(x0)＝0不影响区间内函数的单调性；对于②，导数f′(x)符号不确定，函数不一定是单调函数；对于④，f′(x)0只能得到f(x)单调递减．【答案】③三、解答题9．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝12x＋sinx，x∈(0,2π)；(2)f(x)＝2x－lnx.【解】(1)∵f′(x)＝12＋cosx，令f′(x)0，得12＋cosx0，即cosx－12.又∵x∈(0,2π)，∴0x23π或43πx2π.同理，令f′(x)0，得23πx43π.∴该函数的单调递增区间为0，23π，43π，2π；单调递减区间为23π，43π.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f′(x)＝2－1x.令2－1x0，解得x12；令2－1x0，解得0x12，∴该函数的单调递增区间为12，＋∞，单调递减区间为0，12.10．若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，试求实数a的取值范围．【解】函数求导得f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.因为函数在区间(1,4)内为减函数，所以当x∈(1,4)时，f′(x)≤0，又因为函数在区间(6，＋∞)内为增函数，所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6，所以5≤a≤7，即实数a的取值范围为[5,7]．[能力提升]1．已知函数y＝xf′(x)的图象如图3－3－5所示，下面四个图象中能大致表示y＝f(x)的图象的是()图3－3－5【解析】由题图可知，当x－1时，xf′(x)0，所以f′(x)0，此时原函数为增函数，图象应是上升的；当－1x0时，xf′(x)0，所以f′(x)0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当0x1时，xf′(x)0，所以f′(x)0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当x1时，xf′(x)0，所以f′(x)0，此时原函数为增函数，图象应是上升的，由上述分析，可知选C.【答案】C2．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有()【导学号：26160085】A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)【解析】∵f′(x)－g′(x)＞0，∴(f(x)－g(x))′＞0，∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，∴当a＜x＜b时，f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．故选C.【答案】C3．若函数f(x)＝lnx－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．【解析】f′(x)＝1x－ax－2＝－ax2＋2x－1x.因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)≤0有解．又因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内有解．①当a0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解；②当a0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，若ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解，则Δ＝4＋4a≥0，x＝－1a0，解得－1≤a0；③当a＝0时，显然符合题意．综合上述，a的取值范围是[－1，＋∞)．【答案】[－1，＋∞)4．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．【解】(1)f′(x)＝3x2－a，∵3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2在R上恒成立，又∵y＝3x2≥0，∴当a≤0时，f(x)＝x3－ax－1在R上是增函数，又a＝0时，f′(x)＝3x2不恒为0，∴a≤0.(2)∵3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2在(－1，1)上恒成立．但当x∈(－1，1)时，0≤3x23，∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．(3)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2a，即存在点(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方．