高中数学人教A版选修12学业分层测评11复数代数形式的乘除运算Word版含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知复数z＝2－i，则z·z的值为()A．5B.5C．3D.3【解析】z·z＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.【答案】A2．i是虚数单位，复数7＋i3＋4i＝()A．1－iB．－1＋iC.1725＋3125iD．－177＋257i【解析】7＋i3＋4i＝7＋i3－4i3＋4i3－4i＝25－25i25＝1－i，故选A.【答案】A3．z1，z2是复数，且z21＋z220，则正确的是()A．z21－z22B．z1，z2中至少有一个是虚数C．z1，z2中至少有一个是实数D．z1，z2都不是实数【解析】取z1＝1，z2＝2i满足z21＋z220，从而排除A和D；取z1＝i，z2＝2i，满足z21＋z220，排除C，从而选B.【答案】B4．若z＋z＝6，z·z＝10，则z＝()A．1±3iB．3±iC．3＋iD．3－i【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，∴{2a＝6，a2＋b2＝10，解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i.【答案】B5．已知复数z＝3＋i1－3i2，z是z的共轭复数，则z·z＝()【导学号：19220050】A.14B.12C．1D．2【解析】法一：z＝3＋i1－3i2＝3＋i1－3－23i＝3＋i－21＋3i＝3＋i1－3i－2×4＝－34＋14i，∴z＝－34－14i.∴z·z＝－34＋14i－34－14i＝316＋116＝14.法二：∵z＝3＋i1－3i2∴|z|＝|3＋i||1－3i|2＝24＝12.∴z·z＝|z|2＝14.【答案】A二、填空题6．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________.【解析】由题意，得x＋i＝－1＋2ii＝－i＋2i2i2＝－i－2－1＝2＋i，所以x＝2.【答案】27．(2016·天津高二检测)复数52－i的共轭复数是________．【解析】52－i＝52＋i2－i2＋i＝52＋i5＝2＋i，其共轭复数为2－i.【答案】2－i8．复数2－2aia＋2i的模为2，则实数a的值是________．【解析】2－2aia＋2i＝|2－2ai||a＋2i|＝22＋－2a2a2＋22＝2，解得a＝±3.【答案】±3三、解答题9．(2016·唐山高二检测)若z满足z－1＝3(1＋z)i，求z＋z2的值.【导学号：19220051】【解】∵z－1＝3(1＋z)i，∴z＝1＋3i1－3i＝1＋3i21－3i1＋3i＝－12＋32i，∴z＋z2＝－12＋32i＋－12＋32i2＝－12＋32i＋－12－32i＝－1.10．(2016·天津高二检测)已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4.(1)求复数z的共轭复数；(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．【解】(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应的向量为(－2,4＋a)，其模为4＋4＋a2＝20＋8a＋a2.又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为25.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，所以，实数a的取值范围是－8≤a≤0.[能力提升]1．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1B．2C.2D.3【解析】∵z(1＋i)＝2i，∴z＝2i1＋i＝2i1－i2＝1＋i，∴|z|＝12＋12＝2.【答案】C2．设z的共轭复数为z，z＝1＋i，z1＝z·z，则1z＋1iz1等于()A.12＋iB.12－iC.12D.32【解析】由题意得z＝1－i，∴z1＝z·z＝(1＋i)(1－i)＝2.∴1z＋1iz1＝11－i＋12i＝1＋i2－i2＝12.【答案】C3．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．①|z－z|＝2y；②z2＝x2＋y2；③|z－z|≥2x；④|z|≤|x|＋|y|.【解析】对于①，z＝x－yi(x，y∈R)，|z－z|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，故不正确；对于②，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；对于③，|z－z|＝|2y|≥2x不一定成立，故不正确；对于④，|z|＝x2＋y2≤|x|＋|y|，故正确．【答案】④4．复数z＝1＋i2＋31－i2＋i，若z2＋az0，求纯虚数a.【解】由z2＋az0可知z2＋az是实数且为负数．z＝1＋i2＋31－i2＋i＝2i＋3－3i2＋i＝3－i2＋i＝1－i.∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则z2＋az＝(1－i)2＋mi1－i＝－2i＋mi－m2＝－m2＋m2－2i0，∴－m20，m2－2＝0，∴m＝4，∴a＝4i.