高中数学人教A版选修12学业分层测评5综合法及其应用Word版含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a，b为非零实数，则使不等式：ab＋ba≤－2成立的一个充分而不必要条件是()A．a·b0B．a·b0C．a0，b0D．a0，b0【解析】∵ab＋ba≤－2，∴a2＋b2ab≤－2.∵a2＋b20，∴ab0，则a，b异号，故选C.【答案】C2．平面内有四边形ABCD和点O，OA→＋OC→＝OB→＋OD→，则四边形ABCD为()A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四边形【解析】∵OA→＋OC→＝OB→＋OD→，∴OA→－OB→＝OD→－OC→，∴BA→＝CD→，∴四边形ABCD为平行四边形．【答案】D3．若实数a，b满足0ab，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()【导学号：19220019】A.12B．a2＋b2C．2abD．a【解析】∵a＋b＝1，a＋b2ab，∴2ab12.而a2＋b2a＋b22＝12，又∵0ab，且a＋b＝1，∴a12，∴a2＋b2最大，故选B.【答案】B4．A，B为△ABC的内角，AB是sinAsinB的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若AB，则ab，又asinA＝bsinB，∴sinAsinB；若sinAsinB，则由正弦定理得ab，∴AB.【答案】C5．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解析】对于A，m与α不一定垂直，所以A不正确；对于B，α与β可以为相交平面；对于C，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D，β与γ不一定垂直．【答案】C二、填空题6．设e1，e2是两个不共线的向量，AB→＝2e1＋ke2，CB→＝e1＋3e2，若A，B，C三点共线，则k＝________.【解析】若A，B，C三点共线，则AB→＝λCB→，即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)＝λe1＋3λe2，∴{λ＝2，λ＝k，∴{λ＝2，k＝6.【答案】67．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系为________．【解析】∵a2－c2＝2－(8－43)＝48－360，∴ac，又∵cb＝6－27－3＝7＋36＋21，∴cb，∴acb.【答案】acb8．已知三个不等式：①ab0；②cadb；③bcad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．【解析】对不等式②作等价变形：cadb⇔bc－adab0.于是，若ab0，bcad，则bc－adab0，故①③⇒②.若ab0，bc－adab0，则bcad，故①②⇒③.若bcad，bc－adab0，则ab0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．【答案】3三、解答题9．如图2­2­3，四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，E，F分别为AB，CD的中点，求证：AF∥平面PEC.图2­2­3【证明】∵四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，∴AB綊CD.又∵E，F分别为AB，CD的中点，∴CF綊AE.∴四边形AECF为平行四边形．∴AF∥EC.又AF⊄平面PEC，EC⊂平面PEC，∴AF∥平面PEC.10．(2016·临沂高二检测)在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列．求证：△ABC为等边三角形．【证明】由A，B，C成等差数列知，B＝π3，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac，又a，b，c也成等差数列，∴b＝a＋c2，代入上式得a＋c24＝a2＋c2－ac，整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C，而B＝π3，则A＝B＝C＝π3，从而△ABC为等边三角形．[能力提升]1．设x，y∈R，a1，b1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则1x＋1y的最大值为()A．2B.32C．1D.12【解析】∵ax＝by＝3，x＝loga3，y＝logb3，∴1x＋1y＝log3(ab)≤log3a＋b22＝1.故选C.【答案】C2．(2016·西安高二检测)在△ABC中，tanA·tanB1，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】因为tanA·tanB1，所以角A，角B只能都是锐角，所以tanA0，tanB0,1－tanA·tanB0，所以tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanA·tanB0.所以A＋B是钝角，即角C为锐角．【答案】A3．若0a1,0b1，且a≠b，则a＋b,2ab，a2＋b2,2ab中最大的是________.【导学号：19220020】【解析】由0a1,0b1，且a≠b，得a＋b2ab，a2＋b22ab.又aa2，bb2，知a＋ba2＋b2，从而a＋b最大．【答案】a＋b4．(2016·泰安高二检测)如图2­2­4所示，M是抛物线y2＝x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA＝MB.若M为定点，求证：直线EF的斜率为定值．图2­2­4【证明】设M(y20，y0)，直线ME的斜率为k(k0)，∵MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴直线MF的斜率为－k，∴直线ME的方程为y－y0＝k(x－y20)．由{y－y0＝kx－y20，y2＝x，消去x得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0.解得yE＝1－ky0k，∴xE＝1－ky02k2.同理可得yF＝1＋ky0－k，∴xF＝1＋ky02k2.∴kEF＝yE－yFxE－xF＝1－ky0k－1＋ky0－k1－ky02k2－1＋ky02k2＝2k－4ky0k2＝－12y0(定值)．∴直线EF的斜率为定值．