高中数学人教A版选修12学业分层测评6分析法及其应用Word版含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a，b∈R，则1a31b3成立的一个充分不必要条件是()A．ab0B．baC．ab0D．ab(a－b)0【解析】由ab0⇒a3b30⇒1a31b3，但1a31b3不能推出ab0.∴ab0是1a31b3的一个充分不必要条件．【答案】C2．求证：7－111－5.证明：要证7－111－5，只需证7＋511＋1，即证7＋27×5＋511＋211＋1，即证3511，∵3511，∴原不等式成立．以上证明应用了()A．分析法B．综合法C．分析法与综合法配合使用D．间接证法【解析】该证明方法符合分析法的定义，故选A.【答案】A3．(2016·汕头高二检测)要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.a＋b22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0【解析】要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.【答案】D4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件()A．a2b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2b2＋c2D．a2≤b2＋c2【解析】由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc0，∴b2＋c2－a20，即b2＋c2a2.【答案】C5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设abc，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac3a”，索的因应是()A．a－b0B．a－c0C．(a－b)(a－c)0D．(a－b)(a－c)0【解析】由题意知b2－ac3a⇐b2－ac3a2⇐b2＋a(a＋b)3a2⇐b2＋a2＋ab3a2⇐b2＋ab2a2⇐2a2－ab－b20⇐a2－ab＋a2－b20⇐a(a－b)＋(a＋b)(a－b)0⇐a(a－b)－c(a－b)0⇐(a－b)(a－c)0，故选C.【答案】C二、填空题6．(2016·烟台高二检测)设A＝12a＋12b，B＝2a＋b(a0，b0)，则A，B的大小关系为________．【解析】∵A－B＝a＋b2ab－2a＋b＝a＋b2－4ab2aba＋b＝a－b22aba＋b≥0，∴A≥B.【答案】A≥B7．(2016·西安高二检测)如果aabb，则实数a，b应满足的条件是________.【导学号：19220024】【解析】要使aabb成立，只需(aa)2(bb)2，只需a3b30，即a，b应满足ab0.【答案】ab08．如图2­2­5，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．图2­2­5【解析】要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.【答案】AC⊥BD(或底面为菱形)三、解答题9．设a，b0，且a≠b，求证：a3＋b3a2b＋ab2.【证明】法一：分析法要证a3＋b3a2b＋ab2成立．只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)ab(a＋b)成立，又因a＋b0，只需证a2－ab＋b2ab成立，只需证a2－2ab＋b20成立，即需证(a－b)20成立．而依题设a≠b，则(a－b)20显然成立，由此命题得证．法二：综合法a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)20⇒a2－2ab＋b20⇒a2－ab＋b2ab.注意到a，b0，a＋b0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)ab(a＋b)．∴a3＋b3a2b＋ab2.10．(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥43S.【证明】要证a2＋b2＋c2≥43S，只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcosC)≥23absinC，即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因为2absin(C＋30°)≤2ab，只需证a2＋b2≥2ab，显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥43S.[能力提升]1．已知a，b，c，d为正实数，且abcd，则()A.aba＋cb＋dcdB.a＋cb＋dabcdC.abcda＋cb＋dD．以上均可能【解析】先取特殊值检验，∵abcd，可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，则a＋cb＋d＝25，满足aba＋cb＋dcd.∴B，C不正确．要证aba＋cb＋d，∵a，b，c，d为正实数，∴只需证a(b＋d)b(a＋c)，即证adbc.只需证abcd.而abcd成立，∴aba＋cb＋d.同理可证a＋cb＋dcd.故A正确，D不正确．【答案】A2．(2016·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是()A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.a＋ba＋b(a0，b0)C.a－a－1a－2－a－3(a≥3)D.2＋1026【解析】对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对于B，∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(a＋b)2＝a＋b，∴a＋ba＋b；对于C，要证a－a－1a－2－a－3(a≥3)成立，只需证明a＋a－3a－2＋a－1，两边平方得2a－3＋2aa－32a－3＋2a－2a－1，即aa－3a－2a－1，两边平方得a2－3aa2－3a＋2，即02.因为02显然成立，所以原不等式成立；对于D，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)0，∴2＋1026，故D错误．【答案】D3．使不等式3＋221＋p成立的正整数p的最大值是________.【导学号：19220025】【解析】由3＋221＋p，得p3＋22－1，即p(3＋22－1)2，所以p12＋46－42－23，由于12＋46－42－23≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.【答案】124．(2016·唐山高二检测)已知a，b，c是不全相等的正数，且0x1，求证：logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc.【证明】要证明logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc，只需要证明logxa＋b2·b＋c2·a＋c2logx(abc)，而已知0x1，故只需证明a＋b2·b＋c2·a＋c2abc.∵a，b，c是不全相等的正数，∴a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，a＋c2≥ac0，∴a＋b2·b＋c2·a＋c2a2b2c2＝abc.即a＋b2·b＋c2·a＋c2abc成立．∴logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc成立.