高中数学人教A版选修21章末综合测评3Word版含答案

章末综合测评(三)空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是()A.13，1，1B．(－1，－3，2)C.－12，32，－1D.()2，－3，－22【解析】a＝(1，－3，2)＝－2－12，32，－1.【答案】C2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1E→＝14A1C1→，AE→＝xAA1→＋y(AB→＋AD→)，则()A．x＝1，y＝12B．x＝1，y＝13C．x＝12，y＝1D．x＝1，y＝14【解析】AE→＝AA1→＋A1E→＝AA1→＋14A1C1→＝AA1→＋14AC→＝AA1→＋14(AB→＋AD→)，∴x＝1，y＝14.应选D.【答案】D3．已知A(2，－4，－1)，B(－1，5，1)，C(3，－4，1)，D(0，0，0)，令a＝CA→，b＝CB→，则a＋b为()A．(5，－9，2)B．(－5，9，－2)C．(5，9，－2)D．(5，－9，－2)【解析】a＝CA→＝(－1，0，－2)，b＝CB→＝(－4，9，0)，∴a＋b＝(－5，9，－2)．【答案】B4．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，若AC1→＝aAB→＋2bAD→＋3cA1A→，则abc的值等于()【导学号：18490123】A.16B.56C.76D．－16【解析】∵AC1→＝AB→＋AD→－AA1→＝aAB→＋2bAD→＋3cA1A→，∴a＝1，b＝12，c＝－13.∴abc＝－16.【答案】D5．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列结论不正确的是()A.AB→＝－C1D1→B.AB→·BC→＝0C.AA1→·B1D1→＝0D.AC1→·A1C→＝0【解析】如图，AB→∥C1D1→，AB→⊥BC→，AA1→⊥B1D1，故A，B，C选项均正确．【答案】D6．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c·a＝0，且c·b＝0”是l⊥α的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若l⊥α，则l垂直于α内的所有直线，从而有c·a＝0，c·b＝0.反之，由于a，b是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】B7．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为()A．2B．3C．4D．5【解析】设BC的中点为D，则D(2，1，4)，∴AD→＝(－1，－2，2)，∴|AD→|＝（－1）2＋（－2）2＋22＝3，即BC边上的中线长为3.【答案】B8．若向量a＝(x，4，5)，b＝(1，－2，2)，且a与b的夹角的余弦值为26，则x＝()A．3B．－3C．－11D．3或－11【解析】因为a·b＝(x，4，5)·(1，－2，2)＝x－8＋10＝x＋2，且a与b的夹角的余弦值为26，所以26＝x＋2x2＋42＋52×1＋4＋4，解得x＝3或－11(舍去)，故选A.【答案】A9.如图1，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()图1A.63B.255C.155D.105【解析】以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，∴BC1→＝(－2，0，1)，AC→＝(－2，2，0)，且AC→为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos〈BC1→，AC→〉＝BC1→·AC→|BC1→||AC→|＝45·8＝105.∴sin〈BC→1，AC→〉＝|cos〈BC→1，AC→〉|＝105，∴BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为105.【答案】D10．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.23B.33C.23D.13【解析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则DC→＝(0，1，0)，DB→＝(1，1，0)，DC1→＝(0，1，2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DB→，n⊥DC1→，所以有x＋y＝0，y＋2z＝0，令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC→〉|＝n·DC→|n||DC→|＝23.【答案】A11．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且AF→＝AD→＋mAB→－nAA1→，则m，n的值分别为()A.12，－12B．－12，－12C．－12，12D.12，12【解析】由于AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋12(DC→＋DD1→)＝AD→＋12AB→＋12AA1→，所以m＝12，n＝－12，故选A.【答案】A12．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝435，那么二面角A­BD­P的大小为()A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则PB→＝3，0，－453，BD→＝(－3，4，0)．设n＝(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，则n·PB→＝0，n·BD→＝0，得（x，y，z）·3，0，－453＝0，（x，y，z）·（－3，4，0）＝0.即3x－453z＝0，－3x＋4y＝0.令x＝1，则n＝1，34，543.又n1＝0，0，453为平面ABCD的一个法向量，∴cos〈n1，n〉＝n1·n|n1||n|＝32.∴所求二面角为30°.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.【导学号：18490124】【解析】由题意得2x1＝1－2y＝39，∴x＝16，y＝－32.【答案】16－3214．△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，0，2)，B－32，12，2，C(－1，0,2)，则角A的大小为________．【解析】AB→＝－32，12，0，AC→＝(－1，0，0)，则cosA＝AB→·AC→|AB→||AC→|＝321×1＝32，故角A的大小为30°.【答案】30°15．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2，3)，B(2，1，－1)，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为________．【解析】设点C的坐标为(x，0，z)，则AC→＝(x－1，2，z－3)，AB→＝(1，3，－4)，因为AC→与AB→共线，所以x－11＝23＝z－3－4，解得x＝53，z＝13，所以点C的坐标为53，0，13.【答案】53，0，1316.如图2，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.图2给出以下结论：①SA→＋SB→＋SC→＋SD→＝0；②SA→＋SB→－SC→－SD→＝0；③SA→－SB→＋SC→－SD→＝0；④SA→·SB→＝SC→·SD→；⑤SA→·SC→＝0，其中正确结论的序号是________．【解析】容易推出：SA→－SB→＋SC→－SD→＝BA→＋DC→＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA→·SB→＝2×2cos∠ASB，SC→·SD→＝2×2cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是SA→·SB→＝SC→·SD→，因此④正确；其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.【答案】③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图3，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD.图3(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)证明：PC∥平面BAQ.【证明】如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(1)依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则DQ→＝(1，1，0)，DC→＝(0，0，1)，PQ→＝(1，－1，0)，所以PQ→·DQ→＝0，PQ→·DC→＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC且DQ∩DC＝D.故PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.(2)根据题意，DA→＝(1，0，0)，AB→＝(0，0，1)，AQ→＝(0，1，0)，故有DA→·AB→＝0，DA→·AQ→＝0，所以DA→为平面BAQ的一个法向量．又因为PC→＝(0，－2，1)，且DA→·PC→＝0，即DA⊥PC，且PC⊄平面BAQ，故有PC∥平面BAQ.18.(本题满分12分)如图4，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝2，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．图4【解】因为BA1→＝BA→＋AA1→＝BA→＋BB1→，AC→＝BC→－BA→，且BA→·BC→＝BB1→·BA→＝BB1→·BC→＝0，所以BA1→·AC→＝(BA→＋BB1→)·(BC→－BA→)＝BA→·BC→－BA→2＋BB1→·BC→－BB1→·BA→＝－1.又|AC→|＝2，|BA1→|＝1＋2＝3，所以cos〈BA1→，AC→〉＝BA1→·AC→|BA1→||AC→|＝－16＝－66，则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为66.19.(本小题满分12分)如图5，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．图5(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C­PB­A的余弦值．【解】(1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC.所以平面PBC⊥平面PAC.(2)过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝3.又因为PA＝1，所以A(0，1，0)，B(3，0，0)，P(0，1，1)．故CB→＝(3，0，0)，CP→＝(0，1，1)．设平面BCP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则CB→·n1＝0，CP→·n1＝0，所以3x1＝0，y1＋z1＝0，不妨令y1＝1，则n1＝(0，1，－1)．因为AP→＝(0，0，1)，AB→＝(3，－1，0)，设平面ABP的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则AP→·n2＝0，AB→·n2＝0，所以z2＝0，3x2－y2＝0，不妨令x2＝1，则n2＝(1,3，0)．于是cos〈n1，n2〉＝322＝64.由图知二面角C­PB­A为锐角，故二面角C­PB­A的余弦值为64.20.(本小题满分12分)如图6，在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC＝2AB＝2AD＝4BE，平面PAB⊥平面ABCD.图6(1)求证：平面PED⊥平面PAC;【导学号：18490125】(2)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为55，求二面角A­PC­D的余弦值．【解】(1)∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AB⊥PA，∴PA⊥平面ABCD，又∵AB⊥AD，故可建立空间直角坐标系Oxyz如图所示，不妨设BC＝4，AP＝λ(λ0)，则有D(0，2，0)，E