高中数学人教A版选修21第三章空间向量与立体几何32第1课时Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．l1的方向向量为v1＝(1，2，3)，l2的方向向量v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ＝()A．1B．2C．3D．4【解析】∵l1∥l2，∴v1∥v2，则1λ＝24，∴λ＝2.【答案】B2．若AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面内D．平行或在平面内【解析】∵AB→＝λCD→＋μCE→，∴AB→，CD→，CE→共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．【答案】D3．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1，1)B.1，3，32C.1，－3，32D.－1，3，－32【解析】对于B，AP→＝－1，4，－12，则n·AP→＝(3，1，2)·－1，4，－12＝0，∴n⊥AP→，则点P1，3，32在平面α内．【答案】B4．已知直线l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的法向量是u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是()A．l⊥αB．l∥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α【解析】因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或l⊂α.【答案】D5．若u＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是()A．(0，－3，1)B．(2，0，1)C．(－2，－3，1)D．(－2，3，－1)【解析】同一个平面的法向量平行，故选D.【答案】D二、填空题6．若平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．【解析】因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x－2－8＝0，所以x＝－10.【答案】－107．若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________．【解析】由题意得2x1＝1－2y＝39，∴x＝16，y＝－32.【答案】16－328．已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________．【解析】AB→＝(－2，2，－2)，AC→＝(－1，6，－8)，AP→＝(x－4，－2，0)，由题意知A，B，C，P四点共面，∴AP→＝λAB→＋μAC→＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．∴2λ＋6μ＝－2，－2λ－8μ＝0，∴λ＝－4，μ＝1，而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11.【答案】11三、解答题9.已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图3­2­6所示)，并且OE→＝kOA→，OF→＝kOB→，OH→＝kOD→，AC→＝AD→＋mAB→，EG→＝EH→＋mEF→.求证：【导学号：18490106】图3­2­6(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；(2)AC→∥EG→；(3)OG→＝kOC→.【解】(1)由AC→＝AD→＋mAB→，EG→＝EH→＋mEF→，知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面．(2)∵EG→＝EH→＋mEF→＝OH→－OE→＋m(OF→－OE→)＝k(OD→－OA→)＋km(OB→－OA→)＝kAD→＋kmAB→＝k(AD→＋mAB→)＝kAC→，∴AC→∥EG→.(3)由(2)知OG→＝EG→－EO→＝kAC→－kAO→＝k(AC→－AO→)＝kOC→.∴OG→＝kOC→.10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：AE→是平面A1D1F的法向量．【证明】设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，E1，1，12，D1(0，0，1)，F0，12，0，A1(1，0，1)，AE→＝0，1，12，D1F→＝0，12，－1，A1D1→＝(－1，0，0)．∵AE→·D1F→＝0，1，12·0，12，－1＝12－12＝0，又AE→·A1D1→＝0，∴AE→⊥D1F→，AE→⊥A1D1→.又A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1D1F，∴AE→是平面A1D1F的法向量．[能力提升]1．已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是()A．(4，2，－2)B．(2，0，4)C．(2，－1，－5)D．(4，－2，2)【解析】∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2，2)＝2(2，－1，1)，解得应选D.【答案】D2．已知直线l过点P(1，0，－1)，平行于向量a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量不可能．．．是()A．(1，－4，2)B.14，－1，12C.－14，1，－12D．(0，－1，1)【解析】因为PM→＝(0，2，4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的法向量，则必须满足n·a＝0，n·PM→＝0，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.【答案】D3．若A0，2，198，B1，－1，58，C－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．【解析】因为AB→＝1，－3，－74，AC→＝－2，－1，－74，又因为a·AB→＝0，a·AC→＝0，所以x－3y－74z＝0，－2x－y－74z＝0，解得x＝23y，z＝－43y.所以x∶y∶z＝23y∶y∶－43y＝2∶3∶(－4)．【答案】2∶3∶(－4)4.如图3­2­7，四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.【导学号：18490107】图3­2­7【解】分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0),设E(0，y，z)，则PE→＝(0，y，z－1)，PD→＝(0，2，－1)，∵PE→∥PD→，∴y(－1)－2(z－1)＝0，①∵AD→＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，CE→＝(－1，y－1，z)，∴由CE∥平面PAB,可得CE→⊥AD→，∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0，∴y＝1，代入①式得z＝12.∴E是PD的中点，即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.