高中数学人教A版选修21第三章空间向量与立体几何32第2课时Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝()A．4B.－4C．5D．－5【解析】∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.【答案】D2．在菱形ABCD中，若PA→是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是()A.PA→⊥AB→B.PA→⊥CD→C.PC→⊥BD→D.PC→⊥AB→【解析】由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．【答案】D3．已知AB→＝(1，5，－2)，BC→＝(3，1，z)，若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2，4D．4，407，－15【解析】∵AB→⊥BC→，∴AB→·BC→＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP→⊥AB→，BP→⊥BC→，则（x－1）＋5y＋6＝0，3（x－1）＋y－12＝0，解得x＝407，y＝－157.【答案】B4．已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为()A．(1，1，1)B．(－1，－1，－1)或13，13，13C.13，13，13D．(1，1，1)或－13，－13，－13【解析】设D(x，y，z)，则BD→＝(x，y－1，z)，CD→＝(x，y，z－1)，AD→＝(x－1，y，z)，AC→＝(－1，0，1)，AB→＝(－1，1，0)，BC→＝(0，－1，1)．又DB⊥AC⇔－x＋z＝0①，DC⊥AB⇔－x＋y＝0②，AD＝BC⇔(x－1)2＋y2＋z2＝2③，联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－13，所以点D的坐标为(1，1，1)或－13，－13，－13.故选D.【答案】D5．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件AM→·n＝0的点M构成的图形是()A．圆B．直线C．平面D．线段【解析】M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面．【答案】C二、填空题6．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________.【导学号：18490112】【解析】由题意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9.【答案】－97．已知a＝(x，2，－4)，b＝(－1，y，3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________．【解析】由题意，知－x＋2y－12＝0，x－4－4z＝0，－1－2y＋3z＝0.解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.【答案】(－64，－26，－17)8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB→＝(2，－1，－4)，AD→＝(4，2，0)，AP→＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP→是平面ABCD的法向量；④AP→∥BD→.其中正确的是________．【解析】∵AB→·AP→＝0，AD→·AP→＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又AB→与AD→不平行，∴AP→是平面ABCD的法向量，则③正确．由于BD→＝AD→－AB→＝(2，3，4)，AP→＝(－1，2，－1)，∴BD→与AP→不平行，故④错误．【答案】①②③三、解答题9.如图3­2­15，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.图3­2­15【证明】以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，2，0)，B(0，2，0)，D(2，0，0)，F(2，2，1)，M22，22，1.所以AM→＝－22，－22，1，DF→＝(0,2，1)，BD→＝(2，－2，0)．设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n⊥BD→，n⊥DF→，所以n·BD→＝2x－2y＝0，n·DF→＝2y＋z＝0⇒x＝y，z＝－2y，取y＝1，得x＝1，z＝－2.则n＝(1，1，－2)．因为AM→＝－22，－22，1.所以n＝－2AM→，得n与AM→共线．所以AM⊥平面BDF.10．底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.【证明】法一设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E12，12，12.连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为12，12，0.因为AS→＝(0，0，1)，OE→＝0，0，12，所以OE→＝12AS→.所以OE∥AS.又因为AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.法二设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)，因为BD→＝(－1，1，0)，BE→＝－12，12，12，所以n1⊥BD→，n1⊥BE→，即n1·BD→＝－x＋y＝0，n1·BE→＝－12x＋12y＋12z＝0，令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0)．因为AS⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为n2＝AS→＝(0，0，1)．因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.[能力提升]1.如图3­2­16，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是()图3­2­16A．(1，－2，4)B．(－4，1，－2)C．(2，－2，1)D．(1，2，－2)【解析】设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则A(1，0，0)，E1，1，12，F12，0，1.故AE→＝0，1，12，AF→＝－12，0，1.所以AE→·n＝0，AF→·n＝0，即y＋12z＝0，－12x＋z＝0，所以y＝－12z，x＝2z.当z＝－2时，n＝(－4，1，－2)，故选B.【答案】B2.如图3­2­17，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是()图3­2­17A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BDC．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BDD．不存在DQ与平面A1BD垂直【解析】以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D0，1，12，P(0，2，0)，A1B→＝(1，0，1)，A1D→＝0，1，12，B1P→＝(－1，2，0)，DB1→＝1，－1，－12.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1B→＝x＋z＝0，n·A1D→＝y＋12z＝0，取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2)．假设DQ⊥平面A1BD，且B1Q→＝λB1P→＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则DQ→＝DB1→＋B1Q→＝1－λ，－1＋2λ，－12，因为DQ→也是平面A1BD的法向量，所以n＝(2，1，－2)与DQ→＝1－λ，－1＋2λ，－12共线，于是有1－λ2＝－1＋2λ1＝－12－2＝14成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选D.【答案】D3.如图3­2­18，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系________．图3­2­18【解析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E12，12，12，F12，0，0，∴EF→＝0，－12，－12，平面PBC的一个法向量n＝(0，1，1)，∵EF→＝－12n，∴EF→∥n，∴EF⊥平面PBC.【答案】垂直4．如图3­2­19，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝12AD.图3­2­19(1)求证：CD⊥平面PAC；(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由.【导学号：18490113】【解】因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)．(1)AP→＝(0，0，1)，AC→＝(1，1，0)，CD→＝(－1，1，0)，可得AP→·CD→＝0，AC→·CD→＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD.又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.(2)设侧棱PA的中点是E，则E0，0，12，BE→＝－1，0，12.设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n·CD→＝0，n·PD→＝0，因为CD→＝(－1，1，0)，PD→＝(0，2，－1)，所以－x＋y＝0，2y－z＝0，取x＝1，则y＝1，z＝2，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，2)．所以n·BE→＝(1，1，2)·－1，0，12＝0，所以n⊥BE→.因为BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD.综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD.