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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 高中数学人教A版选修21第二章圆锥曲线与方程222第1课时Word版含答案
学业分层测评(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·人大附中月考)焦点在x轴上,短轴长为8,离心率为35的椭圆的标准方程是()A.x2100+y236=1B.x2100+y264=1C.x225+y216=1D.x225+y29=1【解析】由题意知2b=8,得b=4,所以b2=a2-c2=16,又e=ca=35,解得c=3,a=5,又焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为x225+y216=1,故选C.【答案】C2.椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率为()A.12B.13C.14D.22【解析】由题意知a=2c,∴e=ca=c2c=12.【答案】A3.曲线x225+y29=1与x29-k+y225-k=1(0k9)的关系是()A.有相等的焦距,相同的焦点B.有相等的焦距,不同的焦点C.有不等的焦距,不同的焦点D.以上都不对【解析】曲线x225+y29=1的焦距为2c=8,而曲线x29-k+y225-k=1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8,但由于焦点所在的坐标轴不同,故选B.【答案】B4.已知O是坐标原点,F是椭圆x24+y23=1的一个焦点,过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M,N两点,则cos∠MON的值为()A.513B.-513C.21313D.-21313【解析】由题意,a2=4,b2=3,故c=a2-b2=4-3=1.不妨设M(1,y0),N(1,-y0),所以124+y203=1,解得y0=±32,所以|MN|=3,|OM|=|ON|=12+322=132.由余弦定理知cos∠MON=|OM|2+|ON|2-|MN|22|OM||ON|=1322+1322-322×132×132=-513.【答案】B5.如图224,直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,该椭圆的离心率为()图224A.15B.25C.55D.255【答案】D二、填空题6.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过C、D的椭圆的离心率为________.【导学号:18490048】【解析】如图,AB=2c=4,∵点C在椭圆上,∴CB+CA=2a=3+5=8,∴e=2c2a=48=12.【答案】127.设AB是椭圆x2a2+y2b2=1的不垂直于对称轴的弦,M为AB的中点,O为坐标原点,则kAB·kOM=________.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则中点坐标Mx1+x22,y1+y22,得kAB=y2-y1x2-x1,kOM=y2+y1x2+x1,kAB·kOM=y22-y21x22-x21,b2x21+a2y21=a2b2,b2x22+a2y22=a2b2,得b2(x22-x21)+a2(y22-y21)=0,即y22-y21x22-x21=-b2a2.【答案】-b2a28.已知P(m,n)是椭圆x2+y22=1上的一个动点,则m2+n2的取值范围是________.【解析】因为P(m,n)是椭圆x2+y22=1上的一个动点,所以m2+n22=1,即n2=2-2m2,所以m2+n2=2-m2,又-1≤m≤1,所以1≤2-m2≤2,所以1≤m2+n2≤2.【答案】[1,2]三、解答题9.(1)求与椭圆x29+y24=1有相同的焦点,且离心率为55的椭圆的标准方程;(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.【解】(1)∵c=9-4=5,∴所求椭圆的焦点为(-5,0),(5,0).设所求椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).∵e=ca=55,c=5,∴a=5,b2=a2-c2=20,∴所求椭圆的方程为x225+y220=1.(2)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),∵2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.∴椭圆的方程为x236+y220=1.10.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与x轴交于点A,以OA为边作等腰三角形OAP,其顶点P在椭圆上,且∠OPA=120°,求椭圆的离心率.【解】不妨设A(a,0),点P在第一象限内,由题意知,点P的横坐标是a2,设Pa2,y,由点P在椭圆上,得a22a2+y2b2=1,y2=34b2,即Pa2,32b,又∠OPA=120°,所以∠POA=30°,故tan∠POA=32ba2=33,所以a=3b,所以e=ca=a2-b2a=(3b)2-b23b=223.[能力提升]1.(2016·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是()A.22B.2-1C.2-2D.2-12【解析】设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由题意得|PF2|=b2a=2c,即a2-c2a=2c,得离心率e=2-1,故选B.【答案】B2.“m=3”是“椭圆x24+y2m=1的离心率为12”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】椭圆x24+y2m=1的离心率为12,当0m4时,4-m2=12,得m=3,当m4时,m-4m=12,得m=163,即“m=3”是“椭圆x24+y2m=1的离心率为12”的充分不必要条件.【答案】A3.(2016·济南历城高二期末)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若AP→=2PB→,则椭圆的离心率是________.【解析】由AP→=2PB→,得|AO|=2|FO|(O为坐标原点),即a=2c,则离心率e=12.【答案】124.已知点A,B分别是椭圆x236+y220=1的左、右顶点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.(1)求点P的坐标;【导学号:18490049】(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,且M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.【解】(1)由已知可得A(-6,0),B(6,0),F(4,0),设点P的坐标是(x,y),则AP→=(x+6,y),FP→=(x-4,y).由已知得x236+y220=1,(x+6)(x-4)+y2=0,则2x2+9x-18=0,解得x=32或x=-6.由于y0,所以只能取x=32,于是y=523.所以点P的坐标是32,523.(2)直线AP的方程是x-3y+6=0.设点M的坐标是(m,0),则M到直线AP的距离是|m+6|2,又B(6,0),于是|m+6|2=|m-6|,又-6≤m≤6,解得m=2,设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,有d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-59x2=49x-922+15,由于-6≤x≤6,所以当x=92时,d取最小值为15.
本文标题:高中数学人教A版选修21第二章圆锥曲线与方程222第1课时Word版含答案
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