高中数学人教A版选修21第二章圆锥曲线与方程232Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是()A.y218－x218＝1B.x218－y218＝1C.x28－y28＝1D.y28－x28＝1【解析】设等轴双曲线方程为x2a2－y2a2＝1(a＞0)，∴a2＋a2＝62，∴a2＝18，故双曲线方程为x218－y218＝1.【答案】B2．已知双曲线方程为x2－y24＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l()A．4条B．3条C．2条D．1条【解析】因为双曲线方程为x2－y24＝1，所以P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】B3．双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的焦距等于()【导学号：18490063】A．2B．22C．4D．42【解析】由已知得e＝ca＝2，所以a＝12c，故b＝c2－a2＝32c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±3x，由焦点到渐近线的距离为3，得32c＝3，解得c＝2，故2c＝4，故选C.【答案】C4．若实数k满足0k5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的()A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【解析】若0k5，则5－k0，16－k0，故方程x216－y25－k＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k，焦距2c＝221－k，离心率e＝21－k4；同理方程x216－k－y25＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为16－k，虚半轴的长为5，焦距2c＝221－k，离心率e＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】D5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为()A．2B.3C.2D.32【解析】双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y＝±x，即ba＝1，e＝ca＝2.【答案】C二、填空题6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m－y2m2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．【解析】∵c2＝m＋m2＋4，∴e2＝c2a2＝m＋m2＋4m＝5，∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.【答案】27．已知F为双曲线C：x29－y216＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．【解析】由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16.由左焦点F(－5，0)，且A(5，0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得，|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44.【答案】448．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．【解析】由x－3y＋m＝0，y＝bax，得点A的坐标为：am3b－a，bm3b－a，由x－3y＋m＝0，y＝－bax，得点B的坐标为－am3b＋a，bm3b＋a，则AB的中点C的坐标为a2m9b2－a2，3b2m9b2－a2，∵kAB＝13，∴kCP＝3b2m9b2－a2a2m9b2－a2－m＝－3，即3b2a2－（9b2－a2）＝－3，化简得a2＝4b2，即a2＝4(c2－a2)，∴4c2＝5a2，∴e2＝54，∴e＝52.【答案】52三、解答题9．双曲线与椭圆x216＋y264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．【解】由椭圆x216＋y264＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，∵双曲线的一条渐近线为y＝x，∴设双曲线方程为y2a2－x2a2＝1.又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.∴所求双曲线的方程为y224－x224＝1.由a2＝24，c2＝48，得e2＝c2a2＝2，又e0，∴e＝2.10．已知双曲线x23－y2b2＝1的右焦点为(2，0)．(1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．【解】(1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线方程为x23－y2b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，∴b2＝1，∴双曲线的方程为x23－y2＝1.(2)∵a＝3，b＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±33x，令x＝－2，则y＝±233，设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B，则|AB|＝433，记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S，则S＝12×433×2＝433.[能力提升]1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与曲线C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于()A.355B.62C.32D.55【解析】曲线C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为C(3，0)，半径r＝2，双曲线的渐近线为y＝±bax，不妨取y＝bax，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝|3b|a2＋b2＝2，即9b2＝4(a2＋b2)，所以5b2＝4a2，b2＝45a2＝c2－a2，即95a2＝c2，所以e2＝95，e＝355，选A.【答案】A2．设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A．3x±4y＝0B．3x＋5y＝0C．5x±4y＝0D．4x±3y＝0【解析】由题意可知|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以△PF1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|＝24c2－4a2＝4b，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以4b－2c＝2a，所以2b－a＝c，两边平方可得4b2－4ab＋a2＝c2＝a2＋b2，所以3b2＝4ab，所以4a＝3b，从而ba＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，故选D.【答案】D3．过双曲线x2－y23＝1的左焦点F1，作倾斜角为π6的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．【解析】双曲线的左焦点为F1(－2，0)，将直线AB的方程y＝33(x＋2)代入双曲线方程，得8x2－4x－13＝0.显然Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝12，x1x2＝－138，∴|AB|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋13×122－4×－138＝3.【答案】34．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C的方程；【导学号：18490064】(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA→·OB→2，其中O为原点，求k的取值范围．【解】(1)设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由已知得a＝3，c＝2.又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，故双曲线C的方程为x23－y2＝1.(2)将y＝kx＋2代入x23－y2＝1中，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0，由直线l与双曲线交于不同的两点得：1－3k2≠0，Δ＝（－62k）2＋36（1－3k2）0，即k2≠13且k21.①设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝62k1－3k2，xAxB＝－91－3k2，由OA→·OB→2得xAxB＋yAyB2，而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋2)(kxB＋2)＝(k2＋1)xAxB＋2k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·－91－3k2＋2k·62k1－3k2＋2＝3k2＋73k2－1，于是3k2＋73k2－12，解此不等式得13k23.②由①②得13k21.故k的取值范围是－1，－33∪33，1.