高中数学人教A版选修22课时训练14生活中的优化问题举例Word版含答案

1.4生活中的优化问题举例[学习目标]1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．[知识链接]设两正数之和为常数c，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式a＋b2≥ab(a，b＞0)?答设一个正数为x，则另一个正数为c－x，两数之积为f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0＜x＜c)，f′(x)＝c－2x.令f′(x)＝0，即c－2x＝0，得x＝c2.故当x＝c2时，f(x)有最大值fc2＝c24，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的14.若设这两个正数分别为a，b，则有a＋b24≥ab(a＞0，b＞0)，即a＋b2≥ab(a，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立．[预习导引]1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路是优化问题→用函数表示的数学问题优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．要点一用料最省问题例1有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为xkm，则BC＝BD2＋CD2＝x2＋402，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5ax2＋402(0x50)．∴y′＝－3a＋5axx2＋402.令y′＝0，解得x＝30，(x＝－30舍去)在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．跟踪演练1一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数(k≠0)，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝6103＝0.006，于是有p＝0.006v3.又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v3＋96(元)，而航行1海里所需时间为1v小时，所以，航行1海里的总费用为：q＝1v(0.006v3＋96)＝0.006v2＋96v.q′＝0.012v－96v2＝0.012v2(v3－8000)，令q′＝0，解得v＝20.∵当v20时，q′0；当v20时，q′0，∴当v＝20时，q取得最小值，即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小．要点二面积、容积的最值问题例2如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为x－20cm，y－252cm，其中x20，y25.两栏面积之和为2(x－20)·y－252＝18000，由此得y＝18000x－20＋25.广告的面积S＝xy＝x18000x－20＋25＝18000xx－20＋25x，∴S′＝18000[x－20－x]x－202＋25＝－360000x－202＋25.令S′0得x140，令S′0得20x140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)．当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．规律方法(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；④求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案．跟踪演练2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解如图，设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S＝2πRh＋2πR2，由V＝πR2h，得h＝VπR2，则S(R)＝2πRVπR2＋2πR2＝2VR＋2πR2，令S′(R)＝－2VR2＋4πR＝0，解得R＝3V2π，从而h＝VπR2＝Vπ3V2π2＝34Vπ＝23V2π，即h＝2R.因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．所以，当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省．要点三成本最省，利润最大问题例3甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b0)；固定部分为a元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为sv，全程运输成本为y＝a·sv＋bv2·sv＝sav＋bv，∴所求函数及其定义域为y＝sav＋bv，v∈(0，c](2)由题意s、a、b、v均为正数．y′＝sb－av2＝0得v＝ab.但v∈(0，c]．①若ab≤c，则当v＝ab时，全程运输成本y最小；②若abc，则v∈(0，c]，此时y′0，即y在(0，c]上为减函数．所以当v＝c时，y最小．综上可知，为使全程运输成本y最小，当ab≤c时，行驶速度v＝ab；当abc时，行驶速度v＝c.规律方法正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意：①合理选择变量，正确给出函数关系式．②与实际问题相联系．③必要时注意分类讨论思想的应用．跟踪演练3已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－18q.求产量q为何值时，利润L最大？解收入R＝q·p＝q25－18q＝25q－18q2，利润L＝R－C＝25q－18q2－(100＋4q)＝－18q2＋21q－100(0q200)L′＝－14q＋21令L′＝0，即－14q＋21＝0，求得唯一的极值点q＝84.所以产量为84时，利润L最大．1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8B．203C．－1D．－8答案C解析原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为()A.3VB．32VC．34VD．23V答案C解析设底面边长为x，则表面积S＝32x2＋43xV(x0)．∴S′＝3x2(x3－4V)．令S′＝0，得x＝34V.3．在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解设箱底边长为xcm，则箱高h＝60－x2cm，箱子容积V(x)＝x2h＝60x2－x32(0＜x＜60)．V′(x)＝60x－32x2令V′(x)＝60x－32x2＝0，解得x＝0(舍去)或x＝40，并求得V(40)＝16000.由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16000是最大值．答当x＝40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3.4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝1128000x3－380x＋8(0x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝1128000x3－380x＋8×100x＝11280x2＋800x－154(0x≤120)，h′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.因为x∈(0,80)时，h′(x)0，h(x)是减函数；x∈(80,120)时，h′(x)0，h(x)是增函数，所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f′(x)＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．一、基础达标1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()A．4B．6C．4.5D．8答案A解析设底面边长为x，高为h，则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝256x2，∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·256x2＝x2＋4×256x，∴S′(x)＝2x－4×256x2.令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A．0.0162B．0.0324C．0.0243D．0.0486答案B解析依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x∈(0,0.0486)．所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0x0.0486)，则y′＝0.0972kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．当0x0.0324时，y′0；当0.0324x0.0486时，y′0.所以当x＝0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益．3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()A.l63πB．l33πC．l43πD．14l43π答案A解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝l－4r2，V＝πr2h＝l2πr2－2πr30rl4.则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝l6，而r0，∴r＝l6是其唯一的极值点．∴当r＝l6时，V取得最大值，最大