高中数学人教A版选修22课时训练17定积分的简单应用172Word版含答案

1.7.2定积分在物理中的应用[学习目标]1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．[知识链接]下列判断正确的是________．(1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念；(2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子t1t2v(t)dt；(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子t1t2v(t)dt.答案(1)(3)解析(1)显然正确．对于(2)，(3)两个判断，由于当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用t1t2v(t)dt求解；当v(t)0时，求某一时间段内的位移用t1t2v(t)dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－t1t2v(t)dt.所以(2)错(3)正确．[预习导引]1．在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s′分别为：(1)若v(t)≥0，则s＝abv(t)dt，s′＝abv(t)dt.(2)若v(t)≤0，则s＝－abv(t)dt，s′＝abv(t)dt.(3)若在区间[a，c]上，v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)0，则s＝acv(t)dt－cbv(t)dt；s′＝abv(t)dt.2．定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝abv(t)dt.(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为W＝Fs；而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即W＝abF(x)dx.要点一求变速直线运动的路程、位移例1有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．解(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t4时，P点向x轴负方向运动．故t＝6时，点P离开原点的路程s1＝04(8t－2t2)dt－46(8t－2t2)dt＝4t2－23t340－4t2－23t364＝1283.当t＝6时，点P的位移为06(8t－2t2)dt＝4t2－23t360＝0.(2)依题意0t(8t－2t2)dt＝0，即4t2－23t3＝0，解得t＝0或t＝6，t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值．规律方法(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．跟踪演练1变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．解当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)0.所以前2秒钟内所走的路程s＝01v(t)dt＋12[－v(t)]dt＝01(1－t2)dt＋12(t2－1)dt＝t－13t310＋13t3－t21＝2.2秒末所在的位置x1＝x0＋02v(t)dt＝1＋02(1－t2)dt＝1＋t－t3320＝1＋2－83＝13.它在前2秒内所走的路程为2，2秒末所在的位置为x1＝13.要点二求变力所作的功例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．解由物理学知识易得，压强p与体积V的乘积是常数k，即pV＝k.∵V＝xS(x指活塞与底的距离)，∴p＝kV＝kxS.∴作用在活塞上的力F＝p·S＝kxS·S＝kx.∴所做的功W＝abkxdx＝k·lnxba＝klnba.规律方法解决变力作功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．(2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题．跟踪演练2设有一长为25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求使弹簧伸长到40cm所做的功．解设以x表示弹簧伸长的厘米数，F(x)表示加在弹簧上的力，则F(x)＝kx.依题意，使弹簧伸长5cm，需力100N，即100＝5k，所以k＝20，于是F(x)＝20x.所以弹簧伸长到40cm所做的功即计算由x＝0到x＝15所做的功：W＝∫15020xdx＝10x2150＝2250(N·cm)．1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为()A.52gB．72gC．32gD．2g答案C解析h＝12gtdt＝12gt221＝32g.2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车()A．405B．540C．810D．945答案A解析停车时v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，∴s＝∫300v(t)dt＝∫300(27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)300＝405.3．(2013·湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25ln113C．4＋25ln5D．4＋50ln2答案C解析由v(t)＝7－3t＋251＋t＝0，解得t＝4(t＝－83舍去)，所以所求的路程为047－3t＋251＋tdt＝7t－32t2＋25ln1＋t40＝4＋25ln5，选C.4．一个弹簧压缩xcm可产生4xN的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5cm，求弹簧克服弹力所做的功．解设F(x)＝kx，因为弹簧压缩xcm可产生4xN的力，∴k＝4.∴弹簧克服弹力所做的功为W＝405xdx＝4×12x250＝50(N·cm)＝0.5(J)．1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x单位：m.一、基础达标1．一物体沿直线以v＝2t＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2s间行进的路程为()A．1mB．2mC．3mD．4m答案D解析s＝122t＋1dt＝t2＋t21＝4(m)．2．一物体从A处向B处运动，速度为1.4tm/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35m/s，则AB间的距离为()A．120mB．437.5mC．360mD．480m答案B解析从A处到B处所用时间为25s．所以|AB|＝|∫2501.4tdt＝0.7t2250＝437.5(m)．3．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，ts时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()A.1603mB．803mC．403mD．203m答案A解析v＝0时物体达到最高，此时40－10t2＝0，则t＝2s.又∵v0＝40m/s，∴t0＝0s.∴h＝02(40－10t2)dt＝40t－103t320＝1603(m)．4．如果1N的力使弹簧伸长1cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10cm，拉力所做的功为()A．0.5JB．1JC．50JD．100J答案A解析由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得F(x)＝x，为了将弹簧拉长10cm，拉力所做的功为W＝∫100F(x)dx＝∫100xdx＝12x2100＝50(N·cm)＝0.5(J)．5．汽车以每小时32km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－1.8m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________．答案21.95m解析t＝0时，v0＝32km/h＝32×10003600m/s＝809m/s.刹车后减速行驶，v(t)＝v0＋at＝809－1.8t.停止时，v(t)＝0，则809－1.8t＝0，得t＝40081s，所以汽车所走的距离s＝∫400810v(t)dt＝809t－12t2×1.8400810≈21.95(m)．6．有一横截面的面积为4cm2的水管控制往外流水，打开水管后t秒末的流速为v(t)＝6t－t2(单位：cm/s)(0≤t≤6)．则t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为________．答案144cm3解析由题意可得t＝0到t＝6这段时间内流出的水量V＝064(6t－t2)dt＝4066t－t2dt＝43t2－13t360＝144(cm3)．故t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为144cm3.7．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，求该物体在12s～6s间的运动路程．解由题意，得v(t)＝2t0≤t≤1，21≤t≤3，13t＋13≤t≤6，由变速直线运动的路程公式，可得：s＝错误!v(t)dt＝错误!2tdt＋错误!2dt＋错误!错误!dt＝t2112＋2t31＋16t2＋t63＝494(m)．所以该物体在12s～6s间的运动路程是494m.二、能力提升8．一物体在力F(x)＝100≤x≤23x＋4x2(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为()A．44JB．46JC．48JD．50J答案B解析W＝04F(x)dx＝0210dx＋24(3x＋4)dx＝10x20＋32x2＋4x42＝46(J)．9．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是()A．1＋eB．eC．1eD．e－1答案B解析W＝01F(x)dx＝011＋exdx＝x＋ex10＝(1＋e)－1＝e.10．如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，则克服弹簧力所做的功为________．答案12kl2(J)解析在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F(x)＝kx，其中k为比例系数．由变力做功公式得W＝0lkxdx＝12kx2l0＝12kl2(J)．11．一物体按规律x＝bt3作直线运动，其中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功．解物体的速度v＝x′(t)＝(bt3)′＝3bt2，媒质的阻力F阻＝kv2＝k·(3bt2)2＝9kb2t4(其中k为比例常数，k0)．当x＝0时，t＝0；当x＝a时，t＝ab13.所以阻力所做的功为W阻＝0aF阻dx＝∫ab130kv2·vdt＝∫ab1309kb2t4·3bt2dt＝∫ab13027kb3t6dt＝277kb3t7ab130＝277kb23·a73.12．物体A以速度vA＝3t2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B也以速度vB＝10