高中数学人教A版选修22课时训练23数学归纳法二Word版含答案

2.3数学归纳法(二)[学习目标]1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．[知识链接]1．数学归纳法的两个步骤有何关系？答案使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推的依据．2．用数学归纳法证明的问题通常具备怎样的特点？答案与正整数n有关的命题[预习导引]1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．2．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关的数学命题；(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；(3)注意点：在第二步递推归纳时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．要点一用数学归纳法证明不等式问题例1用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n21－1n(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12.因为1412，所以不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k21－1k，则当n＝k＋1时，122＋132＋142＋…＋1k2＋1k＋121－1k＋1k＋12＝1－k＋12－kkk＋12＝1－k2＋k＋1kk＋121－kk＋1kk＋12＝1－1k＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．规律方法用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式．跟踪演练1用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式1＋131＋15…1＋12n－12n＋12成立．证明(1)当n＝2时，左＝1＋13＝43，右＝52，左右，∴不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式成立，即1＋131＋15…1＋12k－12k＋12，那么当n＝k＋1时，1＋131＋15…1＋12k－11＋12k＋1－12k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋14k2＋8k＋322k＋1＝2k＋3·2k＋12·2k＋1＝2k＋1＋12，∴n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．要点二用数学归纳法证明整除性问题例2用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．证明①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假设n＝k(k∈N*)时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除，所以f(k＋1)能被36整除．由①②可知，对任意的n∈N*，f(n)能被36整除．规律方法应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的．跟踪演练2用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除．证明(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．要点三用数学归纳法证明几何问题例3用数学归纳法证明凸n边形的对角线有12n(n－3)条．证明①当n＝3时，12n(n－3)＝0，这就说明三角形没有对角线，故结论正确．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时结论正确，即凸k边形的对角线有12k(k－3)条，当n＝k＋1时，凸(k＋1)边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为Ak＋1，增加的对角线是顶点Ak＋1与不相邻顶点的连线再加上原k边形一边A1Ak，共增加了对角线的条数为k－2＋1＝k－1.∴f(k＋1)＝12k(k－3)＋k－1＝12(k2－k－2)＝12(k＋1)(k－2)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]故当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n≥3，n∈N*，命题成立．规律方法用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n＝k到n＝k＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明．跟踪演练3平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f(n)＝nn－12.证明(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)＝12k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)＝12k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)，(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．要点四归纳—猜想—证明例4在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1an＋bn＜512.(1)解由条件得2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1.由此可以得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立．即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]，bk＋1＝a2k＋1bk＝(k＋2)2＝[(k＋1)＋1]2，所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．(2)证明1a1＋b1＝16＜512.n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.故1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1an＋bn＜16＋1212×3＋13×4＋…＋1nn＋1＝16＋1212－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝16＋1212－1n＋1＜16＋14＝512.综上，原不等式成立．规律方法探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．这类题型是高考的热点之一，它对培养创造性思维具有很好的训练作用．跟踪演练4已知数列11×4，14×7，17×10，…，13n－23n＋1，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．解S1＝11×4＝14；S2＝14＋14×7＝27；S3＝27＋17×10＝310；S4＝310＋110×13＝413.可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.于是可以猜想Sn＝n3n＋1(n∈N*)．下面我们用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n＝1时，左边＝S1＝14，右边＝n3n＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋13k－23k＋1＝k3k＋1，那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋13k－23k＋1＋1[3k＋1－2][3k＋1＋1]＝k3k＋1＋13k＋13k＋4＝3k2＋4k＋13k＋13k＋4＝3k＋1k＋13k＋13k＋4＝k＋13k＋1＋1，所以，当n＝k＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．1．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得()A．n＝6时该命题不成立B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立D．n＝4时该命题成立答案C解析∵n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题成立．∴若n＝5时，该命题不成立，则n＝4时该命题不成立．2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第一步验证n＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时命题正确，再推证n＝2k＋3时命题正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)时命题正确，再推证n＝2k＋1时命题正确C．假设n＝k(k∈N*)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确D．假设n≤k(k∈N*)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确答案B解析因n为正奇数，所以否定C、D项；当k＝1时，2k－1＝1,2k＋1＝3，故选B.3．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)第一步应验证________．答案n＝3时是否成立解析n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时是否成立．4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是________．答案(2k＋2)＋(2k＋3)解析当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子，一定要用到归纳假设．一、基础达标1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n＋3n＋42(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4答案D解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2nn2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6答案C解析当n取1、2、3、4时2nn2＋1不成立，当n＝5时，25＝3252＋1＝26，第一个能使2nn2＋1的n值为5，故选C.3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n－1＞12764(n∈N*)成立，其初始值至少应取()A．7B．8C．9D．10答案B解析左边＝1＋1