高中数学人教A版选修22课时训练章末检测第二章推理与证明Word版含答案

章末检测一、选择题1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是()A．归纳推理B．演绎推理C．类比推理D．特殊推理答案A2．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为()A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥BC答案A解析这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.3．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22＝1＋332＝1＋3＋542＝1＋3＋5＋723＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3的分解中最小的正整数是21，则m＋n＝()A．10B．11C．12D．13答案B解析∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋112×6＝36，∴m＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29，∵n3的分解中最小的数是21，∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11.4．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数答案D解析应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．5．已知f(x＋1)＝2fxfx＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()A.42x＋2B．2x＋1C．1x＋1D．22x＋1答案B解析当x＝1时，f(2)＝2f1f1＋2＝23＝22＋1，当x＝2时，f(3)＝2f2f2＋2＝24＝23＋1；当x＝3时，f(4)＝2f3f3＋2＝25＝24＋1，故可猜想f(x)＝2x＋1，故选B.6．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个答案B解析若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有()①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．A．4个B．3个C．2个D．1个答案C解析类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．8．数列{an}满足a1＝12，an＋1＝1－1an，则a2013等于()A.12B．－1C．2D．3答案C解析∵a1＝12，an＋1＝1－1an，∴a2＝1－1a1＝－1，a3＝1－1a2＝2，a4＝1－1a3＝12，a5＝1－1a4＝－1，a6＝1－1a5＝2，∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)∴a2013＝a3＋3×670＝a3＝2.9．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x24且(x1－2)·(x2－2)0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒小于0B．恒大于0C．可能等于0D．可正也可负答案A解析不妨设x1－20，x2－20，则x12，x22，∴2x24－x1，∴f(x2)f(4－x1)，即－f(x2)－f(4－x1)，从而－f(x2)－f(4－x1)＝f(x1)，f(x1)＋f(x2)0.10．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是()A．4n＋2B．4n－2C．2n＋4D．3n＋3答案A解法一(归纳猜想法)观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项”．故第n个图案中有白色地面砖的块数是4n＋2.法二(特殊值代入排除法)由图可知，当n＝1时，a1＝6，可排除B答案当n＝2时，a2＝10，可排除C、D答案．二、填空题11．(2013·陕西)观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5按此规律，第n个等式可为________．答案(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5…(2n－1)12．f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，经计算得f(2)＝32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，推测当n≥2时，有________．答案f(2n)2＋n2(n≥2)解析观测f(n)中n的规律为2k(k＝1,2，…)不等式右侧分别为2＋k2，k＝1,2，…，∴f(2n)2＋n2(n≥2)．13．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n＝2nn＋1时，由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是________．答案2k＋1k＋2解析由n＝k到n＝k＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋k＋1＝2k＋1k＋2.14．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为AEEB＝ACBC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．答案AEEB＝S△ACDS△BCD解析CE平分∠ACB，而面CDE平分二面角A－CD－B.∴ACBC可类比成S△ACDS△BCD，故结论为AEEB＝S△ACDS△BCD.三、解答题15．已知a、b、c是互不相等的非零实数．求证三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．证明反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.①由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．16．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列{Sn}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列．(2)解当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾．17．请你把不等式“若a1，a2是正实数，则有a21a2＋a22a1≥a1＋a2”推广到一般情形，并证明你的结论．解推广的结论：若a1，a2，…，an都是正实数，则有a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.证明：∵a1，a2，…an都是正实数，∴a21a2＋a2≥2a1；a22a3＋a3≥2a2；…a2n－1an＋an≥2an－1；a2na1＋a1≥2an，a21a2＋a22a3＋…＋a2nan＋a2n－1a1≥a1＋a2＋…＋an.18．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，是否存在关于自然数n的函数g(n)，使等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝g(n)·[f(n)－1]对于n≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．解当n＝2时，由f(1)＝g(2)·[f(2)－1]，得g(2)＝f1f2－1＝11＋12－1＝2，当n＝3时，由f(1)＋f(2)＝g(3)·[f(3)－1]，得g(3)＝f1＋f2f3－1＝1＋1＋121＋12＋13－1＝3，猜想g(n)＝n(n≥2)．下面用数学归纳法证明：当n≥2时，等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1]恒成立．①当n＝2时，由上面计算可知，等式成立．②假设n＝k(k∈N*且k≥2)时，等式成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1](k≥2)成立，那么当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)fk＋1－1k＋1－k＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，对一切n≥2的自然数n等式都成立，故存在函数g(n)＝n，使等式成立．