高中数学人教A版选修23章末综合测评2Word版含答案

章末综合测评(二)随机变量及其分布(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法不正确的是()A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布【解析】公式E(X)＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C.【答案】C2．(2016·吉安高二检测)若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于C18C15＋C14C16C112C111的是()A．P(X＝0)B．P(X≤2)C．P(X＝1)D．P(X＝2)【解析】由已知易知P(X＝1)＝C18C15＋C14C16C112C111.【答案】C3．(2016·长沙高二检测)若X的分布列为X01P15a则E(X)＝()A.45B.12C.25D.15【解析】由15＋a＝1，得a＝45，所以E(X)＝0×15＋1×45＝45.【答案】A4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是()A．0.16B．0.24C．0.96D．0.04【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】C5．如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)等于()(注：P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544)A．0.210B．0.0228C．0.0456D．0.0215【解析】P(X≤2)＝(1－P(2X≤6))×12＝[1－P(4－2X≤4＋2)]×12＝(1－0.9544)×12＝0.0228.【答案】B6．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为()【导学号：97270056】A.49B.29C.427D.227【解析】连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P＝C13×13×1－132＝49.【答案】A7．校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为45，那么成活棵数X的方差是()A.165B.6425C.1625D.645【解析】由题意知成活棵数X～B4，45，所以成活棵数X的方差为4×45×1－45＝1625.故选C.【答案】C8．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是()A.35B.25C.110D.59【解析】记“第一次摸到正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则P(A)＝C16C19C110C19＝35，P(AB)＝C16C15C110C19＝13.故P(B|A)＝PABPA＝59.【答案】D9．(2016·长沙高二检测)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝1102πe－x－802200，则下列命题中不正确的是()A．该市在这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10【解析】利用正态密度函数的表达式知μ＝80，σ＝10.故A，D正确，利用正态曲线关于直线x＝80对称，知P(ξ110)＝P(ξ50)，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确，故选B.【答案】B10．设随机变量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则P(η6)＝()A．0.3B．0.5C．0.1D．0.2【解析】因为P(ξ＝k)＝110，k＝1,2，…，10，又由η＝2ξ－16，得ξ72，即ξ＝1,2,3，所以P(η6)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝310＝0.3.【答案】A11．甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所示，则有结论()工人甲乙废品数01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些C．两人的产品质量一样好D．无法判断谁的产品质量好一些【解析】∵E(X甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(X乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9.∵E(X甲)E(X乙)，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．【答案】B12．(2016·深圳高二检测)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数中a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望为()A.827B.113C.1681D.6581【解析】记a2，a3，a4，a5位上出现1的次数为随机变量η，则η～B4，23，E(η)＝4×23＝83.因为ξ＝1＋η，E(ξ)＝1＋E(η)＝113.故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.【解析】P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝C44＋C34C13C47＝1335.【答案】133514．一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x＝1处的概率为________．【解析】由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x＝1处的概率为C23232131＝49.【答案】4915．(2016·福州检测)一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________.【解析】如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，所以n(AB)＝1，P(A|B)＝nABnB＝14.【答案】1416．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________.【导学号：97270057】【解析】①恰有一个白球的概率P＝C12C24C36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X～B6，23，其方差为6×23×1－23＝43，故②正确；③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝23，P(AB)＝4×36×5＝25，∴P(B|A)＝PABPA＝35，故③错；④每次取到红球的概率P＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－1－233＝2627，故④正确．【答案】①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．P(B)＝42＋4＝23.P(B)＝1－P(B)＝13.(1)P(A|B)＝3＋18＋1＝49.(2)∵P(A|B)＝38＋1＝13，∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩B)＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B)＝49×23＋13×13＝1127.18．(本小题满分12分)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人？【解】因为ξ～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.9544，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.6826，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.6826.一共有2000名学生，所以考试成绩在(80,100)的考生大约有2000×0.6826≈1365(人)．19．(本小题满分12分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.X012P610110310Y012P510310210【解】工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为E(X)＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D(X)＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为E(Y)＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D(Y)＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)D(Y)，可见乙的技术比较稳定．20．(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)【解】(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p＝C34＋C33C39＝584.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝C24C15＋C34C39＝1742，P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33C39＝4384，P(X＝3)＝C22C17C39＝112.故X的分布列为X123P17424384112从而E(X)＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.21．(本小题满分12分)某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的分布列及E(ξ)；(2)要使10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．【解】(1)依题意，ξ可能的取值为1,0，－1.ξ的分布列为ξ10－1P121414E(ξ)＝12－14＝14.(2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为η2－2PαβE(η)＝2