高中数学人教A版选修23第一章计数原理13131学业分层测评Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于()A．(x－1)3B．(x－2)3C．x3D．(x＋1)3【解析】S＝[(x－1)＋1]3＝x3.【答案】C2．已知x－1x7的展开式的第4项等于5，则x等于()A.17B．－17C．7D．－7【解析】T4＝C37x4－1x3＝5，则x＝－17.【答案】B3．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为()A．3B．6C．9D．12【解析】x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C23×2＝6.【答案】B4．使3x＋1xxn(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A．4B．5C．6D．7【解析】Tr＋1＝Crn(3x)n－r1xxr＝Crn3n－rxn－52r，当Tr＋1是常数项时，n－52r＝0，当r＝2，n＝5时成立．【答案】B5．(x2＋2)1x2－15的展开式的常数项是()A．－3B．－2C．2D．3【解析】二项式1x2－15展开式的通项为：Tr＋1＝Cr51x25－r·(－1)r＝Cr5·x2r－10·(－1)r.当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·C45x－2·(－1)4＝C45×(－1)4＝5；当2r－10＝0，即r＝5时，有2·C55x0·(－1)5＝－2.∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.【答案】D二、填空题6．(2016·安徽淮南模拟)若x＋1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．【解析】由题意知，C2n＝C6n，∴n＝8.∴Tk＋1＝Ck8·x8－k·1xk＝Ck8·x8－2k，当8－2k＝－2时，k＝5，∴1x2的系数为C58＝56.【答案】567．设二项式x－ax6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．【解析】对于Tr＋1＝Cr6x6－r(－ax－12)r＝Cr6(－a)r·x6－32r，B＝C46(－a)4，A＝C26(－a)2.∵B＝4A，a0，∴a＝2.【答案】28．9192被100除所得的余数为________．【解析】法一：9192＝(100－9)92＝C092·10092－C192·10091·9＋C292·10090·92－…＋C9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C092·1092－C192·1091＋…＋C9092·102－C9192·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.法二：9192＝(90＋1)92＝C092·9092＋C192·9091＋…＋C9092·902＋C9192·90＋C9292.前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8281，显然8281除以100所得余数为81.【答案】81三、解答题9．化简：S＝1－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)nCnn(n∈N*)．【解】将S的表达式改写为：S＝C0n＋(－2)C1n＋(－2)2C2n＋(－2)3C3n＋…＋(－2)nCnn＝[1＋(－2)]n＝(－1)n.∴S＝(－1)n＝1，n为偶数时，－1，n为奇数时.10．(2016·淄博高二检测)在2x－1x6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项．【解】(1)第3项的二项式系数为C26＝15，又T3＝C26(2x)4－1x2＝24·C26x，所以第3项的系数为24C26＝240.(2)Tk＋1＝Ck6(2x)6－k－1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，令3－k＝2，得k＝1.所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.[能力提升]1．(2016·吉林长春期末)若C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn能被7整除，则x，n的值可能为()A．x＝4，n＝3B．x＝4，n＝4C．x＝5，n＝4D．x＝6，n＝5【解析】C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅C适合．【答案】C2．已知二项式x＋13xn的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2项的系数为()A．－19B．19C．20D．－20【解析】x＋13xn的通项公式为Tr＋1＝Crn(x)n－r·13xr＝Crnxn2－5r6，由题意知n2－5×36＝0，得n＝5，则所求式子中的x2项的系数为C22＋C23＋C24＋C25＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.【答案】C3．对于二项式1x＋x3n(n∈N*)，有以下四种判断：①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．【解析】二项式1x＋x3n的展开式的通项公式为Tr＋1＝Crnx4r－n，由通项公式可知，当n＝4r(r∈N*)和n＝4r－1(r∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．【答案】①与④4．求x2＋1x＋25的展开式的常数项.【导学号：97270023】【解】法一：由二项式定理得x2＋1x＋25＝x2＋1x＋25＝C05·x2＋1x5＋C15·x2＋1x4·2＋C25·x2＋1x3·(2)2＋C35·x2＋1x2·(2)3＋C45·x2＋1x·(2)4＋C55·(2)5.其中为常数项的有：C15x2＋1x4·2中的第3项：C15C24·122·2；C35·x2＋1x2·(2)3中的第2项：C35C12·12·(2)3；展开式的最后一项C55·(2)5.综上可知，常数项为C15C24·122·2＋C35C12·12·(2)3＋C55·(2)5＝6322.法二：原式＝x2＋22x＋22x5＝132x5·[(x＋2)2]5＝132x5·(x＋2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋2)10的展开式中含x5的项的系数，即C510·(2)5，所以所求的常数项为C510·2532＝6322.