高中数学人教A版选修41学业分层测评3相似三角形的判定Word版含解析

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1­3­12，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK.其中，②～⑥中与三角形①相似的是()图1­3­12A．②③④B．③④⑤C．④⑤⑥D．②③⑥【解析】由相似三角形判定定理知选B.【答案】B2．如图1­3­13，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且AMAN＝BMCN，下列结论中正确的是()图1­3­13A．△ABM∽△ACBB．△ANC∽△AMBC．△ANC∽△ACMD．△CMN∽△BCA【解析】∵CM＝CN，∴∠CMN＝∠CNM.∵∠AMB＝∠CNM＋∠MCN，∠ANC＝∠CMN＋∠MCN，∴∠AMB＝∠ANC.又AMAN＝BMCN，∴△ANC∽△AMB.【答案】B3．如图1­3­14，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AODO等于()【导学号：07370013】图1­3­14A.255B.13C.23D.12【解析】∵AF⊥DE，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，∴AODO＝AEDA＝12.【答案】D4．如图1­3­15，在等边三角形ABC中，E为AB中点，点D在AC上，使得ADAC＝13，则有()图1­3­15A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD【解析】因为∠A＝∠C，BCAE＝CDAD＝2，所以△AED∽△CBD.【答案】B5.如图1­3­16所示，已知点E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，BE，CF相交于点G，FG＝2，则CF的长为()图1­3­16A．4B．4.5C．5D．6【解析】∵E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，∴FE∥BC，由相似三角形的预备定理，得△FEG∽△CBG，∴FGGC＝EFBC＝12.又FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6.【答案】D二、填空题6．如图1­3­17，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝________，CE＝________.图1­3­17【解析】在Rt△ACE和Rt△ADB中，∠A为公共角，∴△ACE∽△ADB，∴ABAE＝ADAC，∴AE＝AB·ACAD＝ABAB＋BCAD＝4×4＋23＝8，则DE＝AE－AD＝5，在Rt△ACE中，CE＝AE2－AC2＝82－4＋22＝27.【答案】5277．如图1­3­18，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.图1­3­18【解析】由∠B＝∠D，AE⊥BC及∠ACD＝90°可以推得：Rt△ABE∽Rt△ADC，故AEAC＝ABAD∴AE＝6×412＝2.【答案】28.如图1­3­19，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝________.【导学号：07370014】图1­3­19【解析】∵DE∶EC＝1∶2，∴DC∶EC＝3∶2，∴AB∶EC＝3∶2.∵AB∥EC，∴△ABF∽△CEF，∴BFEF＝ABEC＝32，∴BFBE＝35.【答案】3∶5三、解答题9．如图1­3­20，已知△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于点F.求证：PB2＝PE·PF.图1­3­20【证明】连接PC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵AD是中线，∴AD垂直平分BC，∴PB＝PC，∴∠PBD＝∠PCD，∴∠ABP＝∠ACP.又∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F＝∠ACP，而∠CPE＝∠FPC.∴△PCE∽△PFC，∴PEPC＝PCPF，∴PC2＝PE·PF，即PB2＝PE·PF.10.如图1­3­21，某市经济开发区建有B，C，D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B，C两厂之间的公路与自来水主管道交于E处，EC＝500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建，每米造价800元．图1­3­21(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出该路线；(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？【解】(1)如图，过B，C，D分别作AN的垂线段BH，CF，DG交AN于H，F，G，BH，CF，DG即为所求的造价最低的管道路线．(2)在Rt△ABE中，AB＝900米，BE＝1700－500＝1200米，∴AE＝12002＋9002＝1500(米)，由△ABE∽△CFE，得到CFAB＝CEAE，即CF900＝5001500，可得CF＝300(米)．由△BHE∽△CFE，得BHCF＝BECE，即BH300＝1200500，可得BH＝720(米)．由△ABE∽△DGA，得ABDG＝AEAD，即900DG＝15001700，可得DG＝1020(米)．所以，B，C，D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720×800＝576000(元)，300×800＝240000(元)，1020×800＝816000(元)．[能力提升]1.如图1­3­22所示，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是()图1­3­22A.ACAB＝ADBCB.ADCD＝ACBCC．AC2＝CD·CBD．CD2＝AC·AB【解析】∠C＝∠C，只有ACCD＝CBAC，即AC2＝CD·CB时，才能使△ACD∽△BCA.【答案】C2．如图1­3­23所示，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，则下列结论正确的是()图1­3­23A．△DAB∽△OCAB．△OAB∽△ODAC．△BAC∽△BDAD．△OAC∽△ABD【解析】设OA＝OB＝BC＝CD＝a，则AB＝2a，BD＝2a，∴ABBD＝22，BCAB＝a2a＝22，∴ABBD＝BCAB，且∠ABC＝∠DBA，∴△BAC∽△BDA.【答案】C3．如图1­3­24所示，∠BAC＝∠DCB，∠CDB＝∠ABC＝90°，AC＝a，BC＝B.当BD＝__________时，△ABC∽△CDB.图1­3­24【解析】由ACBC＝BCBD即可得到．【答案】b2a4．如图1­3­25所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(ABAE)．图1­3­25(1)△AEF与△ECF是否相似？若相似证明你的结论；若不相似，请说明理由；(2)设ABBC＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结论，并求出k的值；若不存在，说明理由．【解】(1)相似．在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°.∵EF⊥EC，A，E，D共线，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.又∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE，∴△AEF∽△DCE，∴EFEC＝AFDE，∴AE＝DE，∴EFEC＝AFAE.又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF.(2)存在．由于∠AEF＝90°－∠AFE180°－∠CFE－∠AFE＝∠BFC，∴只能是△AEF∽△BCF，∠AEF＝∠BCF.由(1)知∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠FCB＝30°.∴ABBC＝CDBC＝CD2DE＝32，即k＝32.反过来，在k＝32时，DECD＝13，∠DCE＝30°，∠AEF＝∠DCE＝30°，∠ECF＝∠AEF＝30°，∠BCF＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF.∴△AEF∽△BCF.