高中数学人教A版选修41课时跟踪检测七圆内接四边形的性质与判定定理Word版含解析

课时跟踪检测(七)圆内接四边形的性质与判定定理一、选择题1．四边形ABCD的一个内角∠C＝36°，E是BA延长线上一点，若∠DAE＝36°，则四边形ABCD()A．一定有一个外接圆B．四个顶点不在同一个圆上C．一定有内切圆D．四个顶点是否共圆不能确定解析：选A因为∠C＝36°，∠DAE＝36°，所以∠C与∠BAD的一个外角相等，由圆内接四边形判定定理的推论知，该四边形有外接圆，故选A.2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2D．以上都不对解析：选B由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B项符合题意．3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于()A．20°B．40°C．80°D．100°解析：选C四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知∠AOC＝2∠D＝80°.4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．二、填空题5．如图，直径AB＝10，弦BC＝8，CD平分∠ACB，则AC＝______，BD＝________.解析：∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，∴AC＝AB2－BC2＝6.又∵CD平分∠ACB，即∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD.∴BD＝AB22＝52.答案：6526．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，则四边形ABCD的面积为________．解析：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.因为∠ADF＋∠ABC＝180°，∠ABE＋∠ABC＝180°，所以∠ABE＝∠ADF.又因为AB＝AD，∠AEB＝∠AFD＝90°，所以Rt△AEB≌Rt△AFD.所以S四边形ABCD＝S四边形AECF，AE＝AF.又因为∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，所以Rt△AEC≌Rt△AFC.因为∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，所以∠CAF＝30°.因为AC＝1，所以CF＝12，AF＝32，所以S四边形ABCD＝2S△ACF＝2×12CF×AF＝34.答案：347.如图，已知四边形ABCD内接于圆，分别延长AB和DC相交于点E，EG平分∠E，且与BC，AD分别相交于F，G，若∠AED＝40°，∠CFG＝80°，则∠A＝________.解析：∵EG平分∠E，∴∠FEC＝20°.∴∠FCE＝∠CFG－∠FEC＝60°.∵四边形ABCD内接于圆，∴∠A＝∠FCE＝60°.答案：60°三、解答题8.如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为23.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE的长．解：(1)证明：因为四边形ABED为⊙O的内接四边形，所以∠CED＝∠A(或∠CDE＝∠B)．又∠C＝∠C，所以△CDE∽△CBA.(2)法一：连接AE.由(1)得DEBA＝CECA，因为AB为⊙O的直径，所以∠AEB＝∠AEC＝90°.在Rt△AEC中，因为∠C＝60°，所以∠CAE＝30°，所以DEBA＝CECA＝12，即DE＝23.法二：连接DO，EO.因为AO＝DO＝OE＝OB，所以∠A＝∠ODA，∠B＝∠OEB.由(1)知∠A＋∠B＝∠CDE＋∠CED＝120°，又∠A＋∠B＋∠ADE＋∠DEB＝360°，所以∠ODE＋∠OED＝120°，则∠DOE＝60°，所以△ODE为等边三角形，所以DE＝OB＝23.9.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．10．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为23，点C与点D分别是劣弧»AB与优弧¼ADB上的任一点(点C，D均不与A，B重合)．(1)求∠ACB；(2)求△ABD的最大面积．解：(1)连接OA，OB，作OE⊥AB，E为垂足，则AE＝BE.Rt△AOE中，OA＝2，AE＝12AB＝12×23＝3.∴sin∠AOE＝AEOA＝32，∴∠AOE＝60°，∠AOB＝2∠AOE＝120°.又∠ADB＝12∠AOB，∴∠ADB＝60°.又四边形ACBD为圆内接四边形，∴∠ACB＋∠ADB＝180°.从而有∠ACB＝180°－∠ADB＝120°.(2)作DF⊥AB，垂足为F，则S△ABD＝12AB·DF＝12×23×DF＝3DF.显然，当DF经过圆心O时，DF取最大值，从而S△ABD取得最大值．此时DF＝DO＋OF＝3，S△ABD＝33，即△ABD的最大面积是33.