高中数学人教A版选修41阶段质量检测一A卷Word版含解析

阶段质量检测(一)A卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知ADDB＝45，DE∥BC，则ECAC等于()A.95B.54C.59D.49解析：选C∵DE∥BC，ADDB＝45，∴ABDB＝95.∴DBAB＝59.又∵DBAB＝ECAC，∴ECAC＝59.2.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，CD＝2，则AC∶BC的值是()A．3∶2B．9∶4C.3∶2D.2∶3解析：选ARt△ACD∽Rt△CBD，∴ACBC＝ADCD＝32.3．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D为AC上一点，DC＝23AC，在AB上取一点E，得到△ADE.若图中的两个三角形相似，则DE的长是()A．6B．8C．6或8D．14解析：选C依题意，本题有两种情形：(1)如图1，过D作DE∥CB交AB于E.则ADAC＝DECB.又∵DC＝23AC，∴ADAC＝13.∴DE＝13BC＝6.(2)如图2，作∠ADE＝∠B，交AB于E，则△ADE∽△ABC.∴ADAB＝DEBC.又∵AD＝13AC＝4，∴DE＝AD·BCAB＝4×189＝8.∴DE的长为6或8.4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，DE是△ACD的高，且AC＝5，CD＝2，则DE的值为()A.2215B.215C.3215D.2125解析：选AAC2＝CD·BC，即52＝2×BC，∴BC＝252.∴AB＝BC2－AC2＝2524－52＝5212.∵DEAB＝DCBC，∴DE＝2215.5．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若BD＝3cm，AC＝2cm，则CD和BC的长分别为()A.3cm和32cmB．1cm和3cmC．1cm和32cmD.3cm和23cm解析：选D设AD＝x，则由射影定理得x(x＋3)＝4，即x＝1(负值舍去)，则CD＝AD·BD＝3(cm)，BC＝BD·AB＝33＋1＝23(cm)．6.如图，DE∥BC，S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，则AD∶DB的值为()A．1∶4B．1∶3C．1∶2D．1∶5解析：选C由S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，得S△ADE∶S△ABC＝1∶9.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴ADAB2＝S△ADES△ABC＝19.∴ADAB＝13，ADDB＝12.7．△ABC和△DEF满足下列条件，其中不一定使△ABC与△DEF相似的是()A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108°B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝a，EF＝b，DF＝cD．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40°解析：选CA项中∠A＝∠D，∠B＝∠E＝108°，∴△ABC∽△DEF；B项中AB∶AC∶BC＝EF∶DE∶DF＝2∶3∶4；∴△ABC∽△EFD；D项中ABAC＝DEDF，∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF；而C项中不能保证三边对应成比例．8．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D.若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是()A.14B.13C.12D．2解析：选C由射影定理得CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶4.令BD＝x，则AD＝4x(x0)，∴CD2＝4x2，∴CD＝2x，tan∠BCD＝BDCD＝x2x＝12.9.如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，DE∶CE＝2∶3，连接AE，BE，BD且AE，BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于()A．4∶10∶25B．4∶9∶25C．2∶3∶5D．2∶5∶25解析：选A∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF.∴DEAB＝DFFB＝25.∴S△DEFS△ABF＝252＝425.又△DEF和△BEF等高．∴S△DEFS△EBF＝DFFB＝25＝410.∴S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝4∶10∶25.10．如图，已知a∥b，AFBF＝35，BCCD＝3，则AE∶EC等于()A.125B.512C.75D.57解析：选A∵a∥b，∴AEEC＝AGCD，AFBF＝AGBD.∵BCCD＝3，∴BC＝3CD，∴BD＝4CD.又AFBF＝35，∴AGBD＝AFBF＝35.∴AG4CD＝35.∴AGCD＝125.∴AEEC＝AGCD＝125.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)11．如图，设l1∥l2∥l3，AB∶BC＝3∶2，DF＝20，则DE＝________.解析：EF∶DE＝AB∶BC＝3∶2，∴DEDF＝25，又DF＝20，∴DE＝8.答案：812．如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.解析：∵PE∥BC，∠C＝∠A，∴∠PED＝∠C＝∠A.∴△PDE∽△PEA.∴PEPA＝PDPE，即PE2＝PD·PA.又PD＝2，DA＝1，∴PA＝3.∴PE2＝2×3＝6，故PE＝6.答案：613.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.解析：在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝3，所以∠BAC＝60°.因为BE⊥AC，AB＝3，所以AE＝32.在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED＝212.答案：21214．如图，▱ABCD中，N是AB延长线上一点，BCBM－ABBN的值为________．解析：∵AD∥BM，∴ABBN＝DMMN.又∵DC∥AN，∴DMMN＝MCMB.∴DM＋MNMN＝MC＋MBMB，即DNMN＝BCBM.∴BCBM－ABBN＝DNMN－DMMN＝MNMN＝1.答案：1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，△ABC中，BC的中点为D，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：MN∥BC.证明：∵MD平分∠ADB，∴ADBD＝AMMB.∵ND平分∠ADC，∴ADDC＝ANNC.∵BD＝DC，∴AMMB＝ADBD＝ADDC＝ANNC.∴MN∥BC.16．(本小题满分12分)如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F.求证：BP2＝PE·PF.证明：连接PC，∵AB＝AC，AD是中线，∴AD是△ABC的对称轴，故PC＝PB.∠PCE＝∠ABP.∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP，故∠PCE＝∠PFC.∵∠CPE＝∠FPC，∴△EPC∽△CPF，故PCPF＝PEPC，即PC2＝PE·PF，∴BP2＝PE·PF.17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是平行四边形，P是BD上任意一点，过P点的直线分别交AB，DC于E，F，交DA，BC的延长线于G，H.(1)求证：PE·PG＝PF·PH；(2)当过P点的直线绕点P旋转到F，H，C重合时，请判断PE，PC，PG的关系，并给出证明．解：(1)证明：∵AB∥CD，∴PEPF＝PBPD.∵AD∥BC，∴PHPG＝PBPD.∴PEPF＝PHPG.∴PE·PG＝PF·PH.(2)关系式为PC2＝PE·PG.证明：由题意可得到右图，∵AB∥CD，∴PEPC＝PBPD.∵AD∥BC，∴PCPG＝PBPD.∴PEPC＝PCPG，即PC2＝PE·PG.18．(本小题满分14分)如图(1)，已知矩形ABCD中，AB＝1，点M在对角线AC上，AM＝14AC，直线l过点M且与AC垂直，与边AD相交于点E.(1)如果AD＝3，求证点B在直线l上；(2)如图(2)，如果直线l与边BC相交于点H，直线l把矩形分成的两部分的面积之比为2∶7，求AD的长；(3)如果直线l分别与边AD，AB相交于E，G，当直线l把矩形分成的两部分的面积之比为1∶6时，求AE的长．解：(1)证明：连接BD，交AC于O点，∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝12AC.∵AM＝14AC，∴AM＝OM.在Rt△ABD中，AB＝1，AD＝3，∴BD＝AB2＋AD2＝2.∴BO＝OA＝AB＝1.∴△AOB是等边三角形．又AM＝OM，∴BM⊥AO.∴点B在直线l上．(2)设AD＝a，则AC＝1＋a2.∵∠EAM＝∠CAD，∠AME＝∠D＝90°，∴△AEM∽△ACD.∴AEAC＝AMAD.又AM＝14AC＝141＋a2，∴AE＝AC·AMAD＝1＋a24a.由AE∥HC，得△AEM∽△CHM，∴AEHC＝AMMC＝13.∴HC＝3AE.又BH＝BC－HC＝a－31＋a24a＝a2－34a，而S梯形ABHE＝12(AE＋BH)·AB＝121＋a24a＋a2－34a·1＝a2－14a.∵S梯形ABHE∶S梯形EHCD＝2∶7，∴S梯形ABHE＝29S矩形ABCD＝29a.∴a2－14a＝29a.解得a＝3，即AD＝3.(3)如图，由题意知直线l分别交AD，AC，AB于E，M，G三点，则有△AEG∽△DCA，∴AGAD＝AEDC.∵DC＝1，∴AE＝AGAD.∵S△AEG＝12AE·AG，S△AEGS多边形EGBCD＝16，∴S△AEGS矩形ABCD＝17.∴12AE·AGAD·DC＝17，即AE·AGAD＝27.∴AE2＝27，AE＝147.