高中数学人教A版选修44课时跟踪检测九参数方程和普通方程的互化Word版含解析

课时跟踪检测(九)参数方程和普通方程的互化一、选择题1．将参数方程x＝2＋sin2θ，y＝sin2θ(θ为参数)化为普通方程为()A．y＝x－2B．y＝x＋2C．y＝x－2(2≤x≤3)D．y＝x＋2(0≤y≤1)解析：选C代入法，将方程化为y＝x－2，但x∈[2,3]，y∈[0,1]，故选C.2．参数方程x＝cos2θ，y＝sin2θ(θ为参数)表示的曲线是()A．直线B．圆C．线段D．射线解析：选Cx＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]，∴x＋y＝1，(x∈[0,1])为线段．3．下列参数方程中，与方程y2＝x表示同一曲线的是()A.x＝ty＝t2(t为参数)B.x＝sin2ty＝sint(t为参数)C.x＝|t|y＝t(t为参数)D.x＝1－cos2t1＋cot2ty＝tant(t为参数)解析：选DA中y有限制y＝t2≥0；B中sin2t和sint都表示在一定范围内；C中化简不是方程y2＝x，而是x2＝y且有限制条件；代入化简可知选D.4．曲线的参数方程是x＝1－1t，y＝1－t2(t是参数，t≠0)，它的普通方程是()A．(x－1)2(y－1)＝1B．y＝xx－21－x2(x≠1)C．y＝11－x2－1(x≠1)D．y＝x1－x2(x≠±1)解析：选B由x＝1－1t，得1t＝1－x，由y＝1－t2，得t2＝1－y.所以(1－x)2·(1－y)＝1t2·t2＝1，进一步整理得到y＝xx－21－x2(x≠1)．二、填空题5．参数方程x＝sinθ，y＝cos2θ(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．解析：由于cos2θ＝1－2sin2θ，故y＝1－2x2，即y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)．答案：y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)6．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x＝2s＋1，y＝s(s为参数)和直线l2：x＝at，y＝2t－1(t为参数)平行，则常数a的值为________．解析：由直线l1：x＝2s＋1，y＝s(s为参数)，消去参数s得l1的普通方程为x－2y－1＝0，由直线l2：x＝at，y＝2t－1(t为参数)，消去参数t得l2的普通方程为ay－2x＋a＝0，因为l1与l2平行，所以斜率相等，即2a＝12，1a≠12，所以a＝4.答案：47．已知直线x＝1＋12t，y＝－33＋32t(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为________．解析：直线的普通方程为y＝3x－43，代入圆的方程，得x2－6x＋8＝0，设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝6，∴x1＋x22＝3，∴y1＋y22＝33－43＝－3.∴A，B的中点坐标为(3，－3)．答案：(3，－3)三、解答题8．把参数方程x＝4k1－k2，y＝4k21－k2(k为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．解：法一：若x≠0，两式相除，得k＝yx.代入x＝4k1－k2，整理，得x2－y2－4y＝0(x≠0)．若x＝0，则k＝0，可得y＝0.显然点(0,0)在曲线x2－y2－4y＝0上．又由y＝4k21－k2＝－4－4k2－1，可知y≠－4.则方程所表示的曲线是双曲线x2－y2－4y＝0，去掉点(0，－4)．法二：由y＝－4－4k2－1，知y≠－4，所以可解得k2＝yy＋4，代入x2的表达式，得x2＝16·yy＋41－yy＋42，整理，得x2－y2－4y＝0(y≠－4)．则方程所表示的曲线是双曲线x2－y2－4y＝0，除去点(0，－4)．法三：∵x2＝4k1－k22，y2＝4k21－k22，两式相减，并整理，得x2－y2＝4k2·1－k21－k22.∵1－k2≠0，∴x2－y2＝4k21－k2＝4y，即x2－y2－4y＝0.∴方程表示双曲线x2－y2－4y＝0，除去点(0，－4)．9．如图所示，经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程．解：圆x2＋y2＝4的参数方程为x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)．在此圆上任取一点P(2cosθ，2sinθ)，PQ的中点为M(2cosθ，sinθ)，PQ中点轨迹的参数方程为x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．化成普通方程为x24＋y2＝1.10．化下列参数方程为普通方程．(1)x＝1－t1＋t，y＝2t1＋t(t∈R且t≠－1)；(2)x＝tanθ＋1tanθ，y＝1cosθ＋1sinθθ≠kπ，kπ＋π2，k∈Z.解：(1)变形为x＝－1＋21＋t，y＝2－21＋t，∴x≠－1，y≠2，∴x＋y＝1(x≠－1)．(2)x＝1sinθcosθ，①y＝sinθ＋cosθsinθcosθ，②②式平方结合①，得y2＝x2＋2x，由x＝tanθ＋1tanθ知|x|≥2.∴普通方程为(x＋1)2－y2＝1(|x|≥2)．