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阶段质量检测(一)A卷一、选择题(本大题共10小题,每小题6分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.点M的极坐标为(1,π),则它的直角坐标是()A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,-1)解析:选Bx=1×cosπ=-1,y=1×sinπ=0,即直角坐标是(-1,0).2.已知曲线C的极坐标方程ρ=2cos2θ,给定两点P0,π2,Q(2,π),则有()A.P在曲线C上,Q不在曲线C上B.P,Q都不在曲线C上C.P不在曲线C上,Q在曲线C上D.P,Q都在曲线C上解析:选C当θ=π2时,ρ=2cosπ=-2≠0,故点P不在曲线上;当θ=π时,ρ=2cos2π=2,故点Q在曲线上.3.在同一坐标系中,将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是()A.x=3x′y=12y′B.x′=3xy′=12yC.x=3x′y=2y′D.x′=3xy′=2y解析:选B将x′=λx,y′=μy代入y=sinx,得μy=sinλx,即y=1μsinλx,与y=2sin3x比较,得μ=12,λ=3,即变换公式为x′=3x,y′=12y.4.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标为()A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解析:选B由ρ=4sinθ,得ρ2=4ρsinθ,故化为直角坐标方程是x2+y2=4y,即(y-2)2+x2=4.5.如图,在柱坐标系中,长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5),C16,π2,5,则此长方体的体积为()A.100B.120C.160D.240解析:选B由长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5),C16,π2,5,可知|OA|=4,|OC|=6,|OO1|=5,故长方体的体积为4×5×6=120.6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A.πB.4πC.8πD.9π解析:选B设P点的坐标为(x,y),∵|PA|=2|PB|,∴(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2].即(x-2)2+y2=4.故P点的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,它的面积为4π.7.在极坐标系中,过点A(6,π)作圆ρ=-4cosθ的切线,则切线长为()A.2B.6C.23D.215解析:选C圆ρ=-4cosθ化为(x+2)2+y2=4,点(6,π)化为(-6,0),所以切线长=42-22=12=23.8.极坐标方程θ=π3,θ=23π和ρ=4所表示的曲线围成的图形面积是()A.163πB.83πC.43πD.23π解析:选B三条曲线围成一个扇形,半径为4,圆心角为2π3-π3=π3.∴扇形面积为:12×4×π3×4=8π3.9.在极坐标系中,曲线ρ=4sinθ-π3关于()A.θ=π3轴对称B.θ=5π6轴对称C.2,π3中心对称D.极点中心对称解析:选Bρ=4sinθ-π3可化为ρ=4cosθ-5π6,可知此曲线是以2,5π6为圆心的圆,故圆关于θ=5π6对称.10.极坐标系内曲线ρ=2cosθ上的动点P与定点Q1,π2的最近距离等于()A.2-1B.5-1C.1D.2解析:选A将曲线ρ=2cosθ化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径,即2-1.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.把答案填写在题中的横线上)11.(陕西高考)直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为________.解析:直线的方程为2x=1,圆的方程为x2+y2-2x=0,圆心为(1,0),半径r=1,圆心到直线的距离为d=|2-1|22+0=12,设所求的弦长为l,则12=122+l22,解得l=3.答案:312.点A的直角坐标为332,92,3,则它的球坐标为________.解析:r=3322+922+32=6.cosφ=36=12,∴φ=π3.tanθ=92332=3,∴θ=π3.∴它的球坐标为6,π3,π3.答案:6,π3,π313.在极坐标系中,点A2,π2关于直线l:ρcosθ=1的对称点的一个极坐标为________.解析:由直线l的方程可知直线l过点(1,0)且与极轴垂直,设A′是点A关于l的对称点,则四边形OBA′A是正方形,∠BOA′=π4,且OA′=22,故A′的极坐标可以是22,π4.答案:22,π414.已知直线l的方程为y=x+1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cosθ=0(ρ≥0,0≤θ2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=________.解析:直线l的方程为y=x+1,曲线C的直角坐标方程为y2=4x,故直线l与曲线C的交点坐标为(1,2).故该点的极径ρ=x2+y2=5.答案:5三、解答题(本大题共6个小题,满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x′=x3,y′=y2后的图形.(1)x2-y2=1;(2)x29+y28=1.解:由伸缩变换x′=x3,y′=y2得x=3x′,y=2y′.①(1)将①代入x2-y2=1得9x′2-4y′2=1,因此,经过伸缩变换x′=x3,y′=y2后,双曲线x2-y2=1变成双曲线9x′2-4y′2=1,如图(1)所示.(2)将①代入x29+y28=1得x′2+y′22=1,因此,经过伸缩变换x′=x3,y′=y2后,椭圆x29+y28=1变成椭圆x′2+y′22=1,如图(2)所示.16.(本小题满分12分)如果点的极坐标为A2,π4,B2,5π4,且△ABC为等腰直角三角形,如何求直角顶点C的极坐标.解:对于点A2,π4,直角坐标为(2,2),点B2,5π4的直角坐标为(-2,-2),设点C的直角坐标为(x,y),由题意得AC⊥BC,且|AC|=|BC|,∴AC―→·BC―→=0,即(x-2,y-2)·(x+2,y+2)=0,∴x2+y2=4.①又|AC―→|2=|BC―→|2,于是(x-2)2+(y-2)2=(x+2)2+(y+2)2,∴y=-x,代入①,得x2=2,解得x=±2.∴x=2,y=-2或x=-2,y=2,∴点C的直角坐标为(2,-2)或(-2,2),∴ρ=2+2=2,tanθ=-1,θ=7π4或3π4,∴点C的极坐标为2,3π4或2,7π4.17.(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值.解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,直线的方程为3x+4y+a=0.由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,即有|3×1+4×0+a|32+42=1,解得a=-8或a=2.故a的值为-8或2.18.(本小题满分12分)在极坐标系中,P是曲线ρ=12sinθ上的一动点,Q是曲线ρ=12cosθ-π6上的动点,试求|PQ|的最大值.解:∵ρ=12sinθ,∴ρ2=12ρsinθ,∴x2+y2-12y=0,即x2+(y-6)2=36.又∵ρ=12cosθ-π6,∴ρ2=12ρcosθcosπ6+sinθsinπ6,∴x2+y2-63x-6y=0,∴(x-33)2+(y-3)2=36.∴|PQ|max=6+6+332+32=18.19.(本小题满分12分)已知线段BB′=4,直线l垂直平分BB′,交BB′于点O,在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′,使OP·OP′=9,建立适当的坐标系,求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程.解:以O为原点,BB′为y轴,l为x轴,建立如图所示的直角坐标系,则B(0,2),B′(0,-2),设P(a,0)(a≠0),则由OP·OP′=9,得P′(9a,0),直线BP的方程为xa+y2=1,直线B′P′的方程为x9a+y-2=1,即lBP:2x+ay-2a=0,lB′P′:2ax-9y-18=0.设M(x,y),则由2x+ay-2a=0,2ax-9y-18=0,解得x=18aa2+9,y=2a2-18a2+9(a为参数).消去a,可得4x2+9y2=36(x≠0),所以点M的轨迹是焦点在x轴上,长轴长为6,短轴长为4的椭圆(除去点B,B′).20.(本小题满分12分)已知曲线C1的方程为x2+y2-8x-10y+16=0.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)把C1的方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ2π).解:(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+y2-8x-10y+16=0,得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由x2+y2-8x-10y+16=0,x2+y2-2y=0,解得x=1,y=1或x=0,y=2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2,π4,2,π2.
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