高中数学人教版A版选修21配套课时作业第三章空间向量与立体几何314Word版含

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时目标1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．1．空间向量基本定理(1)设i、j、k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O，那么，对于空间任一向量p，存在一个______________，使得____________，我们称______，______，______为向量p在i、j、k上的分向量．(2)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c________，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得________________．(3)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是___________．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个________，a，b，c都叫做__________．空间中任何三个________的向量都可构成空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示若e1、e2、e3是有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为____________________，以e1、e2、e3的公共起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么，对于空间任意一个向量p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作____________．一、选择题1．在以下3个命题中，真命题的个数是()①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．A．0B．1C．2D．32.已知O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a＝OA→＋OB→＋OC→，向量b＝OA→＋OB→－OC→，则与a、b不能构成空间基底的是()A.OA→B．OB→C.OC→D.OA→或OB→3．以下四个命题中，正确的是()A.若OP＝12OA→＋13OB→，则P、A、B三点共线B．设向量{a，b，c}是空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底C．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|D.△ABC是直角三角形的充要条件AB→·AC→＝04.设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3G,G1若OG＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则(x，y，z)为()A．(14，14，14)B．(34，34，34)C．(13，13，13)D．(23，23，23)5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)6.已知空间四边形OABC中OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则MN→等于()A.12a－23b＋12cB．－23a＋12b＋12cC.12a＋12b－12cD.23a＋23b－12c二、填空题7．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是____________．8.已知空间四边形ABCD中，AB→＝a－2c，CD→＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则EF→＝____________.9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，AO＝xAB→＋yBC→＋zCC1→，则x＋y＋z＝______.三、解答题10.四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设OA→＝a，OC→＝b，OP→＝c，E、F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示BF→、BE→、AE→、EF→.11.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD,求MN、DC→的坐标．能力提升12．甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F1，F2，F3，若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1＝i＋2j＋3k，F2＝－2i＋3j－k，F3＝3i－4j＋5k，则这三名工人的合力F＝xi＋yj＋zk，求x、y、z.13.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．2.OP＝xOA→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，当且仅当x＋y＋z＝1时，P、A、B、C四点共面．3．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.3．1.4空间向量的正交分解及其坐标表示知识梳理1．(1)有序实数组{x，y，z}p＝xi＋yj＋zkxiyjzk(2)不共面p＝xa＋yb＋zc(3){p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}基底基向量不共面2．单位正交基底p＝(x，y，z)作业设计1．C[命题①，②是真命题，命题③是假命题．]2．C[∵OC→＝12(a－b)，OC→与a、b共面，∴a，b，OC→不能构成空间基底．]3．B[A中若OP→＝12OA→＋12OB→，则P、A、B三点共线，故A错；B中，假设存在实数k1，k2，使c＋a＝k1(a＋b)＋k2(b＋c)＝k1a＋(k1＋k2)b＋k2c，则有k1＝1；k1＋k2＝0；k2＝1.方程组无解，即向量a＋b，b＋c，c＋a不共面，故B正确．C中，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C错．D中，由AB→·AC→＝0⇒△ABC是直角三角形，但△ABC是直角三角形，可能角B等于90°，则有BA→·BC→＝0.故D错．]4．A[因为OG→＝34OG1→＝34(OA→＋AG1→)＝34OA→＋34×23[12(AB→＋AC→)]＝34OA→＋14[(OB→－OA→)＋(OC→－OA→)]＝14OA→＋14OB→＋14OC→，而OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，所以x＝14，y＝14，z＝14.]5．A[设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．]6．B[MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－23OA→＝－23a＋12b＋12c.]7．(3,2，－1)，(－2,4,2)8．3a＋3b－5c解析∵EF→＝EA→＋AB→＋BF→，又EF→＝EC→＋CD→＋DF→，∴两式相加得2EF→＝(EA→＋EC→)＋AB→＋CD→＋(BF→＋DF→)．∵E为AC中点，故EA→＋EC＝0，同理BF→＋DF→＝0，∴2EF→＝AB→＋CD→＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)＝6a＋6b－10c，∴EF→＝3a＋3b－5c.9.32解析AO→＝12AC1→＝12(AB→＋BC→＋CC1→)．故x＝y＝z＝12，∴x＋y＋z＝32.10．解BF→＝12BP→＝12(BO→＋OP→)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.BE→＝BC→＋CE→＝－a＋12CP→＝－a＋12(CO→＋OP→)＝－a－12b＋12c.AE→＝AP→＋PE→＝AO→＋OP→＋12(PO→＋OC→)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c.EF→＝12CB→＝12OA→＝12a.11．解∵PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴可设DA→＝e1，AB→＝e2，AP→＝e3.以e1、e2、e3为坐标向量建立空间直角坐标系Axyz，如图所示．∵MN→＝MA→＋AP→＋PN→＝MA→＋AP→＋12PC→＝MA→＋AP→＋12(PA→＋AD→＋DC→)＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3，∴MN→＝－12，0，12，DC→＝AB→＝e2＝(0,1,0)．12．解由题意，得F＝F1＋F2＋F3＝(i＋2j＋3k)＋(－2i＋3j－k)＋(3i－4j＋5k)＝2i＋j＋7k.又因为F＝xi＋yj＋zk，所以x＝2，y＝1，z＝7.13．证明设AB→＝a，AD→＝c，AA1→＝b，则EF→＝EB1→＋B1F→＝12(BB1→＋B1D1→)＝12(AA1→＋BD→)＝12(AA1→＋AD→－AB→)＝12(－a＋b＋c)，AB1→＝AB→＋EB1→＝AB→＋AA1→＝a＋b.∴EF→·AB1→＝12(－a＋b＋c)·(a＋b)＝12(b2－a2－a·b＋a·b＋c·a＋c·b)＝12(|b|2－|a|2)＝0.∴EF→⊥AB1→，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC.