高中数学人教版必修2配套练习第二章章末检测

章末检测一、选择题1．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°3．下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有()A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面8．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1D18题图9题图9．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是()A．90°B．60°C．45°D．30°10．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°10题图11题图11．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63B.265C.155D.10512．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A．2B.3C.2D．1二、填空题13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.14．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α.其中正确命题的序号是________．15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．15题图16题图16．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．三、解答题17．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？18．ABCD与ABEF是两个全等正方形，AM＝FN，其中M∈AC，N∈BF.求证：MN∥平面BCE.19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝22，PA＝2.求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．20．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：PA∥面BDE；(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．21．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．答案1．C2.D3．C4．B5．D6．D7．A8．B9.A10．D11．D12．D13．914．④15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一)16．a617．解直线MN∥平面A1BC1，M为AB的中点，证明如下：∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1.∴MN⊄平面A1BC1.如图，取A1C1的中点O1，连接NO1、BO1.∵NO1綊12D1C1，MB綊12D1C1，∴NO1綊MB.∴四边形NO1BM为平行四边形．∴MN∥BO1.又∵BO1⊂平面A1BC1，∴MN∥平面A1BC1.18．证明如图所示，连接AN，延长交BE的延长线于P，连接CP.∵BE∥AF，∴FNNB＝ANNP，由AC＝BF，AM＝FN得MC＝NB.∴FNNB＝AMMC.∴AMMC＝ANNP，∴MN∥PC，又PC⊂平面BCE.∴MN∥平面BCE.19．解(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.因为PD＝22＋222＝23，CD＝2，所以三角形PCD的面积为12×2×23＝23.(2)如图，取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，由EF＝2，AF＝2，AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝45°.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是45°.20．(1)证明连接OE，如图所示．∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA.∵OE⊂面BDE，PA⊄面BDE，∴PA∥面BDE.(2)证明∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥面PAC.又∵BD⊂面BDE，∴面PAC⊥面BDE.(3)解取OC中点F，连接EF.∵E为PC中点，∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD.∵OF⊥BD，∴OE⊥BD.∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，∴∠EOF＝30°.在Rt△OEF中，OF＝12OC＝14AC＝24a，∴EF＝OF·tan30°＝612a，∴OP＝2EF＝66a.∴VP－ABCD＝13×a2×66a＝618a3.21．(1)证明因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.如图，设AC∩BD＝F，连接EF.因为AC＝22，PA＝2，PE＝2EC，故PC＝23，EC＝233，FC＝2，从而PCFC＝6，ACEC＝6.因为PCFC＝ACEC，∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°.由此知PC⊥EF.因为PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.(2)解在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.因为BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝PA2＋AD2＝22.设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝2.设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝dPD＝12.所以PD与平面PBC所成的角为30°.