高中数学人教版必修5配套练习24等比数列第2课时

第二章2.4第2课时一、选择题1．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝()A．27B．27或－27C．81D．81或－81[答案]B[解析]∵q2＝a3＋a4a2＋a1＝9，∴q＝±3，因此a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27或－27.故选B．2．如果数列{an}是等比数列，那么()A．数列{a2n}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lgan}是等比数列D．数列{nan}是等比数列[答案]A[解析]设bn＝a2n，则bn＋1bn＝a2n＋1a2n＝(an＋1an)2＝q2，∴{bn}成等比数列；2an＋12an＝2an＋1－an≠常数；当an0时lgan无意义；设cn＝nan，则cn＋1cn＝n＋1an＋1nan＝n＋1qn≠常数．3．在等比数列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5.则a18a10等于()A．－23或－32B．23C．32D．23或32[答案]D[解析]a2a10＝a5a7＝6.由a2a10＝6a2＋a10＝5，得a2＝2a10＝3或a2＝3a10＝2.∴a18a10＝a10a2＝32或23.故选D．4．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝()A．4B．2C．－2D．－4[答案]D[解析]2b＝a＋ca2＝bc消去a得：4b2－5bc＋c2＝0，∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，代入a＋3b＋c＝10中得b＝2，∴a＝－4.5．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于()A．210B．220C．216D．215[答案]B[解析]设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，C＝a3a6a9…a30，则A、B、C成等比数列，公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，∴C＝B·210＝220.6．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A．13项B．12项C．11项D．10项[答案]B[解析]设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积a31q3＝2，后三项之积a31q3n－6＝4.两式相乘得，a61q3(n－1)＝8，即a21qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝an1qnn－12＝64，即(a21qn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.二、填空题7．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则a1＋a2b2的值为________．[答案]52[解析]解法一：∵a1＋a2＝1＋4＝5，b22＝1×4＝4，且b2与1,4同号，∴b2＝2.∴a1＋a2b2＝52.解法二：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，∵1＋3d＝4，∴d＝1，∴a1＝2，a2＝3.∵q4＝4.∴q2＝2.∴b2＝q2＝2.∴a1＋a2b2＝2＋32＝52.8．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.[答案]16[解析]∵2a3－a27＋2a11＝2(a3＋a11)－a27＝4a7－a27＝0，∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b27＝16.三、解答题9．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．[解析]由题意设此四个数为bq，b，bq，a，则有b3＝－82bq＝a＋bab2q＝－80，解得a＝10b＝－2q＝－2或a＝－8b＝－2q＝52.所以这四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.10．已知数列{an}为等比数列，(1)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q；(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求项数n.[解析](1)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，∴q4＝4，故q＝±2.(2)由a3＋a6＝(a2＋a5)·q，得9＝18q，故q＝12.又∵a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，解得a1＝32.再由an＝a1qn－1，得1＝32×(12)n－1，解得n＝6.一、选择题1．设等比数列的前三项依次为3，33，63，则它的第四项是()A．1B．83C．93D．1215[答案]A[解析]a4＝a3q＝a3·a2a1＝63×333＝316×313312＝1.2．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c()A．成等差数列不成等比数列B．成等比数列不成等差数列C．成等差数列又成等比数列D．既不成等差数列又不成等比数列[答案]A[解析]解法一：a＝log23，b＝log26＝log23＋1，c＝log212＝log23＋2.∴b－a＝c－B．解法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b，∴选A．3．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于()A．32B．34C．66D．64[答案]C[解析]依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选C．4．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则mn的值是()A．4B．2C．12D．14[答案]D[解析]由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根则m＝4，另一根为4，设x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的根，则x3＋x4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x3、4、x4，公比为2、x3＝2、x4＝8、n＝16、mn＝14；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，另一根为9，则n＝9，设x2－5x＋m＝0之两根为x1、x2则x1＋x2＝5，无论什么顺序均不合题意．二、填空题5．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．[答案]3或27[解析]设此三数为3、a、b，则2a＝3＋ba－62＝3b，解得a＝3b＝3或a＝15b＝27.∴这个未知数为3或27.6．a，b，c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则三数为__________．[答案]4,12,36[解析]∵a，b，c成等比数列，公比q＝3，∴b＝3a，c＝9a，又a，b＋8，c成等差数列，∴2b＋16＝a＋c，即6a＋16＝a＋9a，∴a＝4，∴三数为4,12,36.三、解答题7．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.[解析]设数列{an}的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6D．由a3，a6，a10成等比数列得，a3a10＝a26，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，解得d＝0，或d＝1.当d＝0时，S20＝20a4＝200；当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，因此，S20＝20a1＋20×192d＝20×7＋190＝330.8．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．(1)求a1及an；(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．[解析](1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1.经验证，n＝1时，上式也成立，∴an＝2kn－k＋1.(2)∵am，a2m，a4m成等比数列，∴a22m＝am·a4m，即(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，整理得mk(k－1)＝0.∵对任意的m∈N*成立，∴k＝0或k＝1.