高中数学新人教版选修22课时作业第一章导数及其应用133函数的最大小值与导数习题课新人

习题课导数的应用明目标、知重点会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．1．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则()A．b≤0B．b2C．b≥2D．b2答案A2．已知y＝asinx＋13sin3x在x＝π3处有极值，则()A．a＝－2B．a＝2C．a＝233D．a＝0答案B3．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间0,1]上的最小值为()A．－1B．0C．－239D.33答案C解析g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝33，x2＝－33(舍去)．当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：x00，333333，11g′(x)－0＋g(x)0极小值0所以当x＝33时，g(x)有最小值g33＝－239.4.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()答案D解析应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象．5．若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的________________条件．答案充分不必要解析对于导数存在的函数f(x)，若f′(x)0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有f′(x)0，如f(x)＝－x3在R上是单调递减的，但f′(x)≤0.题型一函数与其导函数之间的关系例1对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{ann＋1}的前n项和的公式是________．答案2n＋1－2解析由k＝y′|x＝2＝－2n－1(n＋2)，得切线方程为y＋2n＝－2n－1(n＋2)(x－2)，令x＝0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0＝(n＋1)2n，所以ann＋1＝2n，则数列{ann＋1}的前n项和Sn＝21－2n1－2＝2n＋1－2.反思与感悟找切点，求斜率是求切线方程的关键．跟踪训练1如图，曲线y＝f(x)上任一点P的切线PQ交x轴于Q，过P作PT垂直于x轴于T，若△PTQ的面积为12，则y与y′的关系满足()A．y＝y′B．y＝－y′C．y＝y′2D．y2＝y′答案D解析S△PTQ＝12×y×|QT|＝12，∴|QT|＝1y，Q(x－1y，0)，根据导数的几何意义，kPQ＝y－0x－x－1y＝y′∴y2＝y′.故选D.题型二利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间及极值；(3)当x∈1,5]时，求函数的最值．解∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，得－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，于是2(a－1)x＋2b＝0恒成立，∴a－1＝0b＝0，解得a＝1，b＝0；(2)由(1)得f(x)＝x3－48x，∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4，令f′(x)0，得－4x4，令f′(x)0，得x－4或x4.∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，∴f(x)极大＝f(－4)＝128，f(x)极小＝f(4)＝－128.(3)由(2)知，函数在1,4]上单调递减，在4,5]上单调递增，对f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，所以函数的最大值为－47，最小值为－128.小结(1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f′(x)0得增区间，解f′(x)0得减区间．(2)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练2已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数的极小值；(3)求函数在－1,1]的最值．解y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′|x＝1＝3a＋2b＝0，y|x＝1＝a＋b＝3，即3a＋2b＝0a＋b＝3，a＝－6，b＝9.(2)y＝－6x3＋9x2，y＝－18x2＋18x，令y＝0，得x＝0，或x＝1，∴y极小值＝y|x＝0＝0.(3)由(1)知，函数y＝f(x)＝－6x3＋9x2，又f(－1)＝15，f(0)＝0，f(1)＝3，所以函数的最大值为15，最小值为0.题型三导数的综合应用例3已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．解(1)f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立．即3x2－a≥0在R上恒成立．即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意．所以a的取值范围是(－∞，0]．(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，又因为在(－1,1)上，0≤3x23，所以a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)0，所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意，所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是3，＋∞)．反思与感悟在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若不能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)能恒等于0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定．跟踪训练3(1)若函数f(x)＝4x3－ax＋3的单调递减区间是－12，12，则实数a的值是多少？(2)若函数f(x)＝4x3－ax＋3在－12，12上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？解(1)f′(x)＝12x2－a，∵f(x)的单调递减区间为－12，12，∴x＝±12为f′(x)＝0的两个根，∴a＝3.(2)若f(x)在－12，12上为单调增函数，则f′(x)≥0在－12，12上恒成立，即12x2－a≥0在－12，12上恒成立，∴a≤12x2在－12，12上恒成立，∴a≤(12x2)min＝0.当a＝0时，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0时f′(x)＝0)．∴a＝0符合题意．若f(x)在－12，12上为单调减函数，则f′(x)≤0在－12，12上恒成立，即12x2－a≤0在－12，12上恒成立，∴a≥12x2在－12，12上恒成立，∴a≥(12x2)max＝3.当a＝3时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(且只有x＝±12时f′(x)＝0)．因此，a的取值范围为a≤0或a≥3.1．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是()A.13，＋∞B.－∞，13C.13，＋∞D.－∞，13答案C解析若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，只需y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，即Δ＝4－12m≤0，∴m≥13.2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()答案D解析若函数在给定区间上是增函数，则y＝f′(x)0，若函数在给定区间上是减函数，则y＝f′(x)0.3．设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)0，则当axb时有()A．f(x)g(x)f(b)g(b)B．f(x)g(a)f(a)g(x)C．f(x)g(b)f(b)g(x)D．f(x)g(x)f(a)g(a)答案C解析由条件，得fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]20.∴fxgx在(a，b)上是减函数．∴fbgbfxgxfaga，∴f(x)g(b)f(b)g(x)．4．函数f(x)＝x3－12x2－2x＋5，若对于任意x∈－1,2]，都有f(x)m，则实数m的取值范围是________．答案(7，＋∞)解析f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得x＝－23或x＝1.可判断求得f(x)max＝f(2)＝7.∴f(x)m恒成立时，m7.呈重点、现规律]导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．一、基础过关1．函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间－π，π]上的图象大致是()答案A解析∵f(x)＝xcosx，∴f′(x)＝cosx－xsinx.∴f′(－x)＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数，∴函数图象关于y轴对称，排除C选项．由f′(0)＝1可排除D选项．而f′(1)＝cos1－sin10，从而观察图象即可得到答案为A.2．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数()A.π2，3π2B．(π，2π)C.3π2，5π2D．(2π，3π)答案B解析y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，若y＝f(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内y′恒大于或等于0即可．∴只有选项B符合题意，当x∈(π，2π)时，y′≥0恒成立．3．已知函数f(x)＝x＋lnx，则有()A．f(2)f(e)f(3)B．f(e)f(2)f(3)C．f(3)f(e)f(2)D．f(e)f(3)f(2)答案A解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝12x＋1x0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(2)f(e)f(3)．4．函数y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()答案D解析由y＝f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都为减函数，∴在(－∞，0)，(0，＋∞)上，f′(x)0恒成立，故D正确．5．已知a0，函数f(x)＝x3－ax在1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为________．答案3解析由题意知，f′(x)＝3x2－a≥0(x≥1)，∴a≤3x2，∴a≤3.6．若函数y＝x3＋32x2＋m在－2,1]上的最大值为92，则m＝________.答案2解析y′＝x3＋32x2＋m′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)．由y′＝0，得x＝0或x＝－1.∴f(0)＝m，f(－1)＝m＋12.又∵f(1)＝m＋52，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，∴f(1)＝m＋52最大．∴m＋52＝92.∴m＝2.二、能力提升7．已知函数f(x)、g(x)均为a，b]上的可导函数，在a，b]上连续且f′(x)g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为()A．f(a)－g(a)B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b)D．f(b)－g(a)答案A解析设F(x)＝f(x)－g(x)，F′(x)＝f′(x)－g′(x)0，