高中数学新人教版选修22课时作业第二章推理与证明章末复习课Word版含解析

【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明章末复习课新人教版选修2-2题型一合情推理与演绎推理1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．例1(1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________．(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b22.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？(1)答案f(n)＝n3解析由于1＝13,3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.(2)解选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S21＋S22＋S23＝S2.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝a2＋b2＋c22.反思与感悟(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性．跟踪训练1(1)下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________．①A、B为定点，若动点P满足|PA|＋|PB|＝2a|AB|，则点P的轨迹是椭圆；②由a1＝1，an＋1＝3an－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的通项an和Sn的表达式；③由圆x2＋y2＝1的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．答案②③④(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4，______，______，T16T12成等比数列．答案T8T4T12T8解析等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列．题型二综合法与分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程．例2用综合法和分析法证明．已知α∈(0，π)，求证：2sin2α≤sinα1－cosα.证明(分析法)要证明2sin2α≤sinα1－cosα成立．只要证明4sinαcosα≤sinα1－cosα.∵α∈(0，π)，∴sinα0.只要证明4cosα≤11－cosα.上式可变形为4≤11－cosα＋4(1－cosα)．∵1－cosα0，∴11－cosα＋4(1－cosα)≥211－cosα·41－cosα＝4，当且仅当cosα＝12，即α＝π3时取等号．∴4≤11－cosα＋4(1－cosα)成立．∴不等式2sin2α≤sinα1－cosα成立．(综合法)∵11－cosα＋4(1－cosα)≥4，(1－cosα0，当且仅当cosα＝12，即α＝π3时取等号)∴4cosα≤11－cosα.∵α∈(0，π)，∴sinα0.∴4sinαcosα≤sinα1－cosα.∴2sin2α≤sinα1－cosα.跟踪训练2求证：sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.证明∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)－α]＝sinβ，两边同除以sinα得sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.题型三反证法反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p则q”的否定是“若p则綈q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p则綈q”为假，从而可以导出“若p则q”为真，从而达到证明的目的．例3若x，y都是正实数，且x＋y2，求证：1＋xy2或1＋yx2中至少有一个成立．证明假设1＋xy2和1＋yx2都不成立，则有1＋xy≥2和1＋yx≥2同时成立．因为x0且y0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.这与已知x＋y2矛盾．故1＋xy2与1＋yx2至少有一个成立．反思与感悟反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．跟踪训练3已知：ac≥2(b＋d)．求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根．证明假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a2－4b0与Δ2＝c2－4d0，有a2＋c24(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)2ac，即ac2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立．题型四数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．例4用数学归纳法证明当n∈N*时，1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－2)·3＋(n－1)·2＋n·1＝16n(n＋1)·(n＋2)．证明(1)当n＝1时，1＝16·1·2·3，结论成立．(2)假设n＝k时结论成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－2)·3＋(k－1)·2＋k·1＝16k(k＋1)(k＋2)．当n＝k＋1时，则1·(k＋1)＋2·k＋3·(k－1)＋…＋(k－1)·3＋k·2＋(k＋1)·1＝1·k＋2·(k－1)＋…＋(k－1)·2＋k·1＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)]＝16k(k＋1)(k＋2)＋12(k＋1)(k＋2)＝16(k＋1)(k＋2)(k＋3)，即当n＝k＋1时结论也成立．综合上述，可知结论对一切n∈N*都成立．跟踪训练4数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝12an＋1.(1)写出a2，a3，a4.(2)求数列{an}的通项公式．解(1)因为a1＝1，an＋1＝12an＋1，所以a2＝12a1＋1＝12＋1＝32.a3＝12a2＋1＝12·32＋1＝74.a4＝12a3＋1＝12·74＋1＝158.(2)证明方法一猜想an＝2n－12n－1.下面用数学归纳法证明，(1)当n＝1时，a1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；(2)假设当n＝k时ak＝2k－12k－1，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝12ak＋1＝12·2k－12k－1＋1＝2k－12k＋1＝2k－1＋2k2k＝2k＋1－12k满足上式，即当n＝k＋1时猜想也成立，由(1)(2)可知，对于n∈N*都有an＝2n－12n－1.方法二因为an＋1＝12an＋1，所以an＋1－2＝12an＋1－2，即an＋1－2＝12(an－2)，设bn＝an－2，则bn＋1＝12bn，即{bn}是以b1＝－1，12为公比的等比数列，所以bn＝b1·qn－1＝－12n－1，所以an＝bn＋2＝2n－12n－1.呈重点、现规律]1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．