高二数学人教A必修5章末检测第一章解三角形Word版含解析

章末检测一、选择题1．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若A＋C＝2B，有a＝1，b＝3，则S△ABC等于()A.2B.3C.32D．2答案C解析由A＋C＝2B，解得B＝π3.由余弦定理得(3)2＝1＋c2－2ccosπ3，解得c＝2或c＝－1(舍去)．于是，S△ABC＝12acsinB＝12×1×2sinπ3＝32.2．在△ABC中，sinA＝34，a＝10，则边长c的取值范围是()A.152，＋∞B．(10，＋∞)C．(0,10)D.0，403答案D解析∵csinC＝asinA＝403，∴c＝403sinC．∴0c≤403.3．在△ABC中，若a＝52b，A＝2B，则cosB等于()A.53B.54C.55D.56答案B解析由正弦定理得ab＝sinAsinB，∴a＝52b可化为sinAsinB＝52.又A＝2B，∴sin2BsinB＝52，∴cosB＝54.4．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C＝120°，c＝2a，则()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定答案A解析由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，又C＝120°，∴2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2＝b2＋ab＞b2，∴a＞b，故选A.5．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，0)C．(－12，0)D．(12，＋∞)答案D解析由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m0)，∵a＋bca＋cb即m2k＋12mk3mkmk＋1，∴k12.6．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为()A.922B.924C.928D．92答案C解析设另一条边为x，则x2＝22＋32－2×2×3×13，∴x2＝9，∴x＝3.设cosθ＝13，则sinθ＝223.∴2R＝3sinθ＝3223＝924，R＝928.7．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形答案B解析∵sinA＝sinC且A、C是三角形内角，∴A＝C或A＋C＝π(舍去)．∴△ABC是等腰三角形．8．在锐角△ABC中，BC＝1，∠B＝2∠A，则AC的取值范围是()A．[－2,2]B．[0,2]C．(0,2]D．(2，3)答案D解析由题意得0＜π－3∠A＜π2，0＜2∠A＜π2⇒π6＜∠A＜π4，由正弦定理ACsinB＝BCsinA得AC＝2cosA.∵∠A∈π6，π4，∴AC∈(2，3)．9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是()A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解答案D解析A中，因asinA＝bsinB，所以sinB＝16×sin30°8＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，sinC＝20sin60°18＝539，且cb，∴CB，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝a2－c2＝25－4＝21，即有解；故A、B、C都不正确．用排除法应选D.10．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于()A.21B.106C.69D.154答案B解析设BC＝a，则BM＝MC＝a2.在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AM·cos∠AMB，即72＝14a2＋42－2×a2×4·cos∠AMB①在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC即62＝42＋14a2＋2×4×a2·cos∠AMB②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a2，∴a＝106.二、填空题11．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cosC的大小是________．答案13解析由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得c2＝a2＋b2－23ab.根据余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a2－b2＋23ab2ab＝13，所以cosC＝13.12．在△ABC中，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.答案2π3解析由已知3sinA＝5sinB，利用正弦定理可得3a＝5b.由3a＝5b，b＋c＝2a，利用余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12.C∈(0，π)，C＝23π.13．在△ABC中，已知cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝________.答案145解析在△ABC中，∵cosA＝350，∴sinA＝45.∵cosB＝5130，∴sinB＝1213.∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知bsinB＝csinC，∴c＝bsinCsinB＝3×56651213＝145.14．太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.答案36解析如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1(km)．由正弦定理得BCsin∠CAB＝ABsin∠ACB，∴BC＝1sin60°·sin15°＝6－223(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BC·sin75°＝6－223·6＋24＝36(km)．三、解答题15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cosB＝35.(1)若b＝4，求sinA的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．解(1)∵cosB＝350，且0Bπ，∴sinB＝1－cos2B＝45.由正弦定理得asinA＝bsinB，sinA＝asinBb＝2×454＝25.(2)∵S△ABC＝12acsinB＝4，∴12×2×c×45＝4，∴c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b＝17.16.如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．解设我艇追上走私船所需时间为t小时，则BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcos120°，∴t＝2(t＝－34舍去)．答我艇追上走私船所需要的时间为2小时．17．在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．解(1)因为a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得3sinA＝26sin2A.所以2sinAcosAsinA＝263.故cosA＝63.(2)由(1)知cosA＝63，所以sinA＝1－cos2A＝33.又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝13.所以sinB＝1－cos2B＝223.在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝539.所以c＝asinCsinA＝5.18．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．(1)证明∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·a2R＝b·b2R，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S△ABC＝12absinC＝12×4×sinπ3＝3.