高二数学人教A必修5练习112余弦定理Word版含解析

课时训练2余弦定理一、利用余弦定理解三角形1.在△ABC中,a=1,B=60°,c=2,则b等于()A.1B.√C.√D.3答案:C解析:b2=a2+c2-2accosB=1+4-2×1×2×=3,故b=√.2.在△ABC中,c2-a2-b2=√ab,则角C为()A.60°B.45°或135°C.150°D.30°答案:C解析:∵cosC=--√=-√,∴C=150°.3.在△ABC中,已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于.答案:120°解析:由正弦定理可得a∶b∶c=3∶5∶7,不妨设a=3,b=5,c=7,则c边最大,∴角C最大.∴cosC=--=-.∵0°C180°,∴C=120°.4.(2015河南郑州高二期末,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=√sinC,B=30°,b=2,则边c=.答案:2解析:∵在△ABC中,sinA=√sinC,∴a=√c.又B=30°,由余弦定理,得cosB=cos30°=√--√,解得c=2.二、判断三角形形状5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b+c=2ccos2,则△ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案:A解析:∵b+c=2ccos2,且2cos2=1+cosA,∴b+c=c(1+cosA),即b=ccosA.由余弦定理得b=c·-,化简得a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.6.在△ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,则△ABC的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定答案:A解析:由sin2A+sin2Bsin2C,得a2+b2c2,所以cosC=-0,所以∠C为钝角,即△ABC为钝角三角形.7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=2bcosC,试判断△ABC的形状.解法一:∵cosC=-,代入a=2bcosC,得a=2b·-,∴a2=a2+b2-c2,即b2-c2=0.∴b=c.∴△ABC为等腰三角形.解法二:根据正弦定理=2R,得a=2RsinA,b=2RsinB,代入已知条件得2RsinA=4RsinBcosC,即sinA=2sinBcosC,∵A=π-(B+C),∴sinA=sin(B+C).∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC.∴sinBcosC-cosBsinC=0.∴sin(B-C)=0.又-πB-Cπ,∴B-C=0,即B=C.∴△ABC是等腰三角形.三、正弦定理、余弦定理的综合应用8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为()A.-B.C.D.-答案:A解析:∵2sinB=3sinC,∴2b=3c.又b-c=,∴a=2c,b=c.∴cosA=--=-.9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=√bc,sinC=2√sinB,则A=.答案:解析:∵sinC=2√sinB,∴由正弦定理得c=2√b.∵a2-b2=√bc,∴cosA=--√=√-√√,∴A=.10.(2015山东威海高二期中,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足4acosB-bcosC=ccosB.(1)求cosB的值;(2)若ac=12,b=3√,求a,c.解:(1)已知等式4acosB-bcosC=ccosB,利用正弦定理,得4sinAcosB-sinBcosC=sinCcosB,整理,得4sinAcosB=sin(B+C),即4sinAcosB=sinA,∵sinA≠0,∴cosB=.(2)∵ac=12,b=3√,cosB=,∴由b2=a2+c2-2accosB,得a2+c2=24,联立a2+c2=24与ac=12,解得a=c=2√.(建议用时:30分钟)1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cosC=,则sinB=()A.B.√C.√D.答案:B解析:由已知根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4,∴c=2,即B=C,∴sinB=√-√.2.(2015河北邯郸三校联考,3)在△ABC中,如果sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,那么cosC等于()A.B.-C.-D.-答案:D解析:由正弦定理可得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=2∶3∶4,可设a=2k,b=3k,c=4k(k0),由余弦定理可得cosC=--=-,故选D.3.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=√a,则()A.abB.abC.a=bD.a与b的大小关系不能确定答案:A解析:由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得2a2=a2+b2+ab,∴a2-b2=ab0,∴a2b2,∴ab.4.△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值为()A.19B.14C.-18D.-19答案:A解析:cosB=-,∴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|⃗⃗⃗⃗⃗||⃗⃗⃗⃗⃗|cosB=7×5×=19.5.在不等边三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边,如果sin2(B+C)sin2B+sin2C,则角A的取值范围为()A.()B.()C.()D.()答案:D解析:由题意得sin2Asin2B+sin2C,再由正弦定理得a2b2+c2,即b2+c2-a20,则cosA=-0,∵0Aπ,∴0A.又a为最大边,∴A.因此得角A的取值范围是().6.已知在△ABC中,2B=A+C,b2=ac,则△ABC的形状为.答案:等边三角形解析:∵2B=A+C,又A+B+C=180°,∴B=60°.又b2=ac,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos60°=a2+c2-ac,∴有a2+c2-ac=ac,从而(a-c)2=0,∴a=c,故△ABC为等边三角形.7.(2015北京高考,12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.答案:1解析:在△ABC中,由正弦定理知,=2cosA·=2cosA×cosA,再根据余弦定理,得cosA=-,所以=1.8.在△ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccosA+accosB+abcosC的值为.答案:解析:由余弦定理得bccosA+accosB+abcosC=---.9.在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=sinC,试判定△ABC的形状.解:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,得(a+b)2-c2=3ab,即a2+b2-c2=ab.∴cosC=-.∵0°C180°,∴C=60°.∵A+B+C=180°,∴sinC=sin(A+B).又∵2cosAsinB=sinC,∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,∴sin(A-B)=0.∵A,B均为△ABC的内角,∴A=B.因此△ABC为等边三角形.10.在△ABC中,C=2A,a+c=10,cosA=,求b.解:由正弦定理得=2cosA,∴.又a+c=10,∴a=4,c=6.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得,∴b=4或b=5.当b=4时,∵a=4,∴A=B.又C=2A,且A+B+C=π,∴A=,与已知cosA=矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,∴b=5.