高二数学人教A必修5练习122三角形中的几何计算Word版含解析

课时训练4三角形中的几何计算一、与三角形面积有关的计算1.在△ABC中,c=√,b=1,B=30°,则△ABC的面积为()A.√或√B.√或√C.√或√D.√答案:B解析:由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB,即1=a2+3-2√acos30°,化简得a2-3a+2=0.∴a=1或a=2.又S△ABC=acsinB=√a,∴S△ABC=√或√.2.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=√,则AC=()A.5B.√C.2D.1答案:B解析:根据三角形面积公式,得BA·BC·sinB=,即×1×√×sinB=,得sinB=√,其中CA.若B为锐角,则B=,所以AC=√-√√=1=AB,易知A为直角,此时△ABC为直角三角形,不符合题意,所以B为钝角,即B=,所以AC=√-√(-√)√.3.(2015山东威海高二期中,10)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,2sin()=1,b=1,△ABC的面积是√,则边c等于()A.2B.√C.2√D.2√答案:A解析:∵sin(),A∈(0,π),∴2A+,可得A=.∵b=1,△ABC的面积为√.∴S=bcsinA=√,即×1×c×√√,解得c=2,故选A.4.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2√,则△ABC的面积等于.答案:2√解析:在△ABC中,根据正弦定理,得,所以√°,解得sinB=1.因为B∈(0°,120°),所以B=90°,所以C=30°所以△ABC的面积S△ABC=·AC·BC·sinC=2√.5.(2015河南郑州高二期末,19)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√b=2csinB.(1)求角C的大小;(2)若c2=(a-b)2+6,求△ABC的面积.解:(1)由正弦定理,及√b=2csinB,得√sinB=2sinCsinB,∵sinB≠0,∴sinC=√.∵C为锐角,∴C=60°.(2)由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a-b)2+ab,∵c2=(a-b)2+6,∴ab=6.则S△ABC=absinC=√.二、三角形中的有关计算6.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=10,AC=14,DC=6,则AB的长为()A.5B.5√C.5√D.5√答案:D解析:在△ACD中,cosC=--.∴sinC=√.在△ABC中,由正弦定理得,∴AB=√√=5√.7.如图,四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,该四边形面积为.答案:5√解析:连接BD,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos120°=4+4+4,∴BD=2√.S四边形=S△ABD+S△BCD=×4×2√×2×2sin120°=5√.8.(2015福建宁德五校联考,20)如图,在平面四边形ABCD中,AB=3√,AC=6,∠ACB=45°.(1)求∠ACB的大小;(2)若∠CAD=∠CBD=60°,求CD的长.解:(1)在△ABC中,由正弦定理,得,即√°.整理,得sin∠ABC=1,则∠ABC=90°.(2)由(1)得∠CAB=180°-90°-45°=45°,又∵∠CAD=∠CBD=60°,∴∠ABD=30°.在△ABD中,∠ADB=180°-105°-30°=45°,由正弦定理,得AD=√√=3,在△ABD中,由余弦定理得,CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠DAC=9+36-18=27,∴CD=3√.三、与三角形有关的证明问题9.在△ABC中,求证:--.证明:右边=-=·cosB-·cosA=--=-=左边,故结论成立.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:=c(-).证明:由余弦定理的推论得cosB=-,cosA=-,代入等式右边,得右边=c(---)=--=左边,∴=c(-).(建议用时:30分钟)1.已知方程x2sinA+2xsinB+sinC=0有重根,则△ABC的三边a,b,c的关系满足()A.b=acB.b2=acC.a=b=cD.c=ab答案:B解析:由方程有重根,∴Δ=4sin2B-4sinAsinC=0,即sin2B=sinAsinC,∴b2=ac.2.在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=√,则角A的对边的长为()A.√B.√C.√D.√答案:D解析:∵S△ABC=bcsinA=×1×c×sin60°=√,∴c=4.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos60°=1+16-2×4×=13.∴a=√.3.在△ABC中,已知a=3√,cosC=,S△ABC=4√,则b=()A.√B.2√C.4√D.3√答案:B解析:在△ABC中,sinC=√-√,则由S△ABC=absinC,得×3√√×b=4√,∴b=2√.4.(2015河南南阳高二期中,5)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知三角形ABC的面积S=-,则C的大小是()A.45°B.30°C.90°D.135°答案:A解析:∵△ABC中,S=absinC,a2+b2-c2=2abcosC,且S=-,∴absinC=abcosC.整理,得sinC=cosC,即tanC=1,则C=45°.故选A.5.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,则b等于()A.1+√B.√C.√D.2+√答案:A解析:由ac·sin30°=,得ac=6,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos30°=(a+c)2-2ac-√ac=4b2-12-6√,∴b=√+1.6.在△ABC中,B=60°,AB=1,BC=4,则BC边上的中线AD的长为.答案:√解析:∵AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos60°=3,∴AD=√.7.在△ABC中,BC=2,B=,当△ABC的面积等于√时,sinC=.答案:解析:由三角形的面积公式S=AB·BCsin√,易求得AB=1,由余弦定理得AC=√,再由三角形的面积公式S=AC·BCsinC=√,即可得出sinC=.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=√a,则a与b的大小关系是.答案:ab解析:由正弦定理得,.∴sinA=°√√√√.∴A30°,则B30°.∴ab.9.(2015陕西高考,理17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,√b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=√,b=2,求△ABC的面积.(1)解:因为m∥n,所以asinB-√bcosA=0.由正弦定理,得sinAsinB-√sinBcosA=0.又sinB≠0,从而tanA=√.由于0Aπ,所以A=.(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,而a=√,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0.因为c0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsinA=√.解法二:由正弦定理,得√,从而sinB=√.又由ab,知AB,所以cosB=√.故sinC=sin(A+B)=sin()=sinBcos+cosBsin√.所以△ABC的面积为absinC=√.10.△ABC的三个内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=√a.(1)求;(2)若c2=b2+√a2,求B.解:(1)由正弦定理,得sin2AsinB+sinBcos2A=√sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=√sinA.故sinB=√sinA,所以√.(2)由余弦定理和c2=b2+√a2,得cosB=√.由(1)知b2=2a2,故c2=(2+√)a2.可得cos2B=,又cosB0,故cosB=√,所以B=45°.