高二数学人教A必修5练习212数列的通项公式与递推公式Word版含解析

课时训练6数列的通项公式与递推公式一、数列的单调性1.已知数列an0,且2an+1=an,则数列{an}是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法判断答案:A解析:∵an0,∴an+1-an=an-an=-an0.∴数列{an}是递增数列.2.在数列{an}中,若an=-n2+12n-7,则此数列的最大项的值为.答案:29解析:an=-(n-6)2+29,所以当n=6时,an最大,解得a6=29.二、由递推公式求数列中的项3.若a1=1,an+1=,则给出的数列{an}的第7项是()A.B.C.D.答案:C解析:由数列的首项和递推公式可以求出a2=,a3=,…,观察得到通项公式an=-,所以a7=.4.在数列{an}中,a1=-2,an+1=-,则a2012=()A.-2B.-C.-D.3答案:D解析:∵a1=-2,an+1=-,∴a2=-,a3=,a4=3,a5=-2.∴该数列是周期数列,周期T=4.又2012=503×4,∴a2012=a4=3.5.已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则a5=.答案:8解析:由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,∴a5=a4+a3=8.6.已知数列{an}满足a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2013=;a2014=.答案:10解析:a2013=a504×4-3=1,a2014=2a1007=2a4×252-1=0.7.数列{an}满足an+1=-,a8=2,则a1=.答案:解析:a8=-=2,∴a7=.又a7=-,∴a6=-1.又a6=-,∴a5=2.以此下去,可推出a1=.三、由递推关系求通项公式8.已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+1(n≥2),则通项公式为()A.an=1B.an=2n-1C.an=nD.an=n+1答案:C解析:由an=an-1+1知an-an-1=1,∴数列的相邻两项中后项比前项大1.∴通项公式为an=n.9.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,则数列{an}的通项公式为()A.an=2n-1B.an=2n-1C.an=()-D.an=1+()答案:A解析:方法一:由已知a1=1=21-1,a2=2×1+1=3=22-1,a3=2×3+1=7=23-1,…,由此归纳得an=2n-1.方法二:∵an+1+1=2(an+1),∴=2,用累乘法可得an+1=2n.∴an=2n-1.10.(2015温州高二检测)已知数列{an},a1=1,以后各项由an=an-1+-(n≥2)给出.(1)写出数列{an}的前5项;(2)求数列{an}的通项公式.解:(1)a1=1;a2=a1+;a3=a2+;a4=a3+;a5=a4+.(2)由已知得an-an-1=--,∴a2-a1=1-,a3-a2=,a4-a3=,……,an-an-1=-.左右分别累加得an-a1=1-,所以an=a1+1-=2-.(建议用时:30分钟)1.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2).则a6等于()A.7B.11C.16D.17答案:C解析:由题可知a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)=1+1+2+3+4+5=16.2.已知数列{an}中,a1=2,an=--(n≥2),则a2015等于()A.-B.C.2D.-2答案:C解析:∵an+2=-=an,∴数列奇数项相同,偶数项相同.∴a2015=a1=2.3.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1a2a3…an=n2,则a3+a5等于()A.B.C.D.答案:C解析:由已知得{⇒a3={⇒a5=,∴a3+a5=.4.已知数列{an}的通项公式为an=()-()-,则数列{an}()A.有最大项,没有最小项B.有最小项,没有最大项C.既有最大项又有最小项D.既没有最大项也没有最小项答案:C解析:数列{an}的通项公式为an=()-()-,令t=()-(0t≤1),则an=t2-t=(-)(0t≤1).故数列{an}有最大项和最小项,选C.5.下图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“短线”表示化学键,按图中结构第n个图有化学键()A.6n个B.(4n+2)个C.(5n-1)个D.(5n+1)个答案:D解析:各图中的短线依次为6,6+5,6+5+5,…,若视6为5+1,则这个数列为1+5,1+5+5,1+5+5+5,…,于是第n个图的化学键个数应为an=5n+1.6.数列{an}满足an+1={-若a1=,则a9等于.答案:解析:a1=[),∴a2=2a1-1=,∴a3=2a2-1=[),∴a4=2a3=,同理a5=,a6=,a7=,a8=,a9=.7.数列{an}中a1=1,a2=3,-an-1·an+1=(-1)n-1(n≥2),那么a4=.答案:33解析:令n=2得-a1·a3=-1,∴a3=10.令n=3代入,得-a2a4=(-1)2,∴a4=33.8.设函数f(x)定义如下表,数列{xn}满足x0=5,且对任意的自然数均有xn+1=f(xn),则x2014=.x12345f(x)41352答案:1解析:x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4,x4=f(x3)=f(4)=5=x0,从而数列{xn}是周期为4的数列,于是x2014=x4×503+2=x2=1.9.已知递增数列{an}的通项公式是an=n2+λn,求实数λ的取值范围.解:∵数列{an}是递增数列,∴an+1an对n∈N*恒成立.∵an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ,∴2n+1+λ0对n∈N*恒成立,即λ-2n-1对n∈N*恒成立,又当n∈N*时-2n-1≤-3,∴λ-3.10.设数列{an},a1=0,an+1=-,写出数列的前4项,并归纳出该数列的一个通项公式.解:a1=0,a2=-,a3=--,a4=--.直接观察可以发现a3=可写成a3=,这样可知an=-(n∈N*,n≥2).当n=1时,-=0=a1,所以an=-.