高二数学人教A必修5练习242等比数列的性质Word版含解析

课时训练12等比数列的性质一、等比数列性质的应用1.若{an}是等比数列,那么()A.数列{}是等比数列B.数列{√}是等比数列C.数列{}是等比数列D.数列{nan}是等比数列答案:A解析:由等比数列的定义判断即可.2.在等比数列{an}中,a2013=8a2010,则公比q的值为()A.2B.3C.4D.8答案:A解析:∵a2013=8a2010,∴a2010q3=8a2010.∴q3=8.∴q=2.3.已知项数相同的等比数列{an}和{bn},公比分别为q1,q2(q1,q2≠1),则数列①{3an};②{};③{};④{2an-3bn};⑤{2an·3bn}中等比数列的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:在①中,=q1,是等比数列;在②中,,是等比数列;在③中,令an=2n-1,则数列{}为3,32,34,…,因为,故不是等比数列;在④中,数列的项可能为零,故不一定是等比数列;在⑤中,=q1·q2,是等比数列.4.(2015山东威海高二期中,5)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5√B.7C.6D.4√答案:A解析:a1a2a3=5⇒=5;a7a8a9=10⇒=10.=a2a8,∴=50,∴a4a5a6==5√.故选A.5.(2015河南郑州高二期末,10)已知各项为正的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为2√,则2a7+a11的最小值为()A.16B.8C.2√D.4答案:B解析:∵各项为正的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为2√,∴a4·a14=(2√)2=8,∴a7·a11=8,∵a70,a110,∴2a7+a11≥2√=2√=8.故选B.二、等差、等比数列的综合问题6.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.-答案:A解析:因为a2,a4,a8成等比数列,所以=a2·a8,所以(a1+6)2=(a1+2)·(a1+14),解得a1=2.所以Sn=na1+-d=n(n+1).7.数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.答案:1解析:设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d,所以(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1,故q=-=1.8.已知1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值为.答案:2.5解析:∵a1+a2=1+4=5,=1×4=4,且b2与1,4同号,∴b2=2,∴=2.5.9.在四个正数中,前三个成等差数列,和为48,后三个成等比数列,积为8000.求此四个数.解:设前三个数分别为a-d,a,a+d,(a-d)+a+(a+d)=48,即a=16.再设后三个数分别为,b,bq,则有·b·bq=b3=8000,即b=20.∴四个数分别为m,16,20,n.∴m=2×16-20=12,n==25,即这四个数分别为12,16,20,25.10.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10.(1)求a1和d的值;(2)b16是不是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.解:(1)由题意得{所以{--两式相除,得3=--=d6+d3+1,解得d3=-2或d3=1(舍去).所以d=-√,代入得a1=-d=√.(2)b16=a1d15=√×(-√)15=-32√,an=a1+(n-1)d=√+(n-1)×(-√)=-√n+2√.令an=-32√,得-√n+2√=-32√,解得n=34∈N*,故b16是数列{an}中的第34项.(建议用时:30分钟)1.在等比数列{an}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则a9a10a11的值为()A.48B.72C.144D.192答案:D解析:∵=q9=8(q为公比),∴a9a10a11=a6a7a8q9=24×8=192.2.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=()A.1B.2C.4D.8答案:A解析:∵a3a11==16,且an0,∴a7=4.又a7=a5·q2=4a5,∴a5=1.3.已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a3+a4+a5等于()A.33B.84C.72D.189答案:B解析:由条件得,4a1+(a1q2)=2×(2a1q),即(q-2)2=0,∴q=2.∴a3+a4+a5=3×(22+23+24)=84.4.等比数列{an}中,已知a9=-2,则此数列的前17项之积为()A.216B.-216C.217D.-217答案:D解析:∵数列{an}为等比数列,∴a1a2a3…a17=.又∵a9=-2,∴a1a2a3…a17=(-2)17=-217.5.已知1abc,且a,b,c成等比数列,且n≥2,n∈N*,则logan,logbn,logcn的关系为()A.成等差数列B.成等比数列C.各项倒数成等差数列D.以上都不对答案:C解析:由已知b2=ac.∴lognb2=lognac.∴2lognb=logna+lognc.∴,即成等差数列.6.已知数列{an}是等比数列,公比q1,且a1+a6=8,a3a4=12,则=.答案:3解析:由已知a3a4=12得a1a6=12,又∵a1+a6=8.当q1时,解得a1=2,a6=6.又∵a1a11=,∴=3.7.在等比数列{an}中,若an0,a1·a100=100,则lga1+lga2+lga3+…+lga100=.答案:100解析:由等比数列性质知:a1·a100=a2·a99=…=a50·a51=100.∴lga1+lga2+lga3+…+lga100=lg(a1·a2·a3·…·a100)=lg(a1·a100)50=lg10050=lg10100=100.8.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=.答案:16解析:∵2a3-+2a11=2(a3+a11)-=4a7-=0,∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8==16.9.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可以成等比数列,这三个数的和为12,求这三个数.解:设这三个数为a-d,a,a+d,则(a-d)+a+(a+d)=12,所以a=4.所以这三个数可以表示为4-d,4,4+d.①若4-d为等比中项,则有(4-d)2=4×(4+d),解得d=12,或d=0(舍去).此时,这三个数是-8,4,16.②若4+d为等比中项,则有(4+d)2=4×(4-d),解得d=-12,或d=0(舍去).此时,这三个数是16,4,-8.③若4为等比中项,则有42=(4-d)×(4+d),解得d=0(舍去),综上所述,这三个数是-8,4,16或16,4,-8.10.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若a=1,求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}唯一,求a的值.解:(1)设{an}的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.由b1,b2,b3成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2),即q2-4q+2=0,解得q1=2+√,q2=2-√.∴{an}的通项公式为an=(2+√)n-1或an=(2-√)n-1.(2)设{an}的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0(*).由a0得Δ=4a2+4a0,故方程(*)有两个不同的实根.由{an}唯一,知方程(*)必有一根为0,代入(*)得a=.