高二数学人教A必修5练习252数列求和Word版含解析

课时训练14数列求和一、分组求和1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=()A.15B.12C.-12D.-15答案:A解析:∵an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n+2n(n∈N*),则an为()A.-+2n-1-1B.-+2n-1C.+2n+1-1D.-+2n+1-1答案:B解析:∵an+1=an+n+2n,∴an+1-an=n+2n.∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+(1+2)+(2+22)+…+[(n-1)+2n-1]=1+[1+2+3+…+(n-1)]+(2+22+…+2n-1)=1+-----+2n-1.3.(2015广东湛江高二期末,19)已知数列{an}为等差数列,a5=5,d=1;数列{bn}为等比数列,b4=16,q=2.(1)求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn.解:(1)∵数列{an}为等差数列,a5=5,d=1,∴a1+4=5,解得a1=1,∴an=1+(n-1)×1=n.∵数列{bn}为等比数列,b4=16,q=2,∴b1·23=16,解得b1=2,∴bn=2×2n-1=2n.(2)∵cn=an+bn=n+2n,∴Tn=(1+2+3+…+n)+(2+22+23+…+2n)=--+2n+1-2.二、裂项相消法求和4.数列{an}的通项公式an=…,则其前n项和Sn=()A.B.C.D.答案:A解析:∵an=…=2(-),∴Sn=a1+a2+…+an=2[(-)(-)…(-)]=2(-).5.+…+-=.答案:解析:∵-(--),∴+…+-(---…--)=(-).6.(2015山东省潍坊四县联考,17)等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn.等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,a3=b3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和Tn.解:(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,由已知可得{又q0,∴{∴an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.(2)由(1)知数列{an}中,a1=3,an=3n,∴Sn=,∴(-),∴Tn=(--…-)=(-).三、错位相减法求和7.数列,…,,…前n项的和为.答案:4--解析:设Sn=+…+,①Sn=+…+,②①-②得(-)Sn=+…+=2--.∴Sn=4--.8.(2015湖北高考,文19)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)当d1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.解:(1)由题意有,{即{解得{或{故{--或{()-(2)由d1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=--,于是Tn=1++…+--,①Tn=+…+-.②①-②可得Tn=2++…+--=3-,故Tn=6--.(建议用时:30分钟)1.数列{an}的通项公式是an=√√,若前n项和为10,则项数为()A.11B.99C.120D.121答案:C解析:∵an=√√√√,∴Sn=a1+a2+…+an=(√-1)+(√√)+…+(√√)=√-1,令√-1=10,得n=120.2.已知数列{an}的通项公式an=-,其前n项和Sn=,则项数n等于()A.13B.10C.9D.6答案:D解析:an=-=1-().∴Sn=n-(-)-=n-1+=5+,∴n=6.3.数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2012等于()A.1006B.2012C.503D.0答案:A解析:∵函数y=cos的周期T==4,∴可分四组求和:a1+a5+…+a2009=0,a2+a6+…+a2010=-2-6-…-2010=--=-503×1006,a3+a7+…+a2011=0,a4+a8+…+a2012=4+8+…+2012==503×1008.故S2012=0-503×1006+0+503×1008=503×(-1006+1008)=1006.4.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则+…+等于()A.(2n-1)2B.(2n-1)C.4n-1D.(4n-1)答案:D解析:根据前n项和Sn=2n-1,可求出an=2n-1,由等比数列的性质可得{}仍为等比数列,且首项为,公比为q2,∴+…+=1+22+24+…+22n-2=(4n-1).5.已知数列{an}:,…,那么数列{bn}={}前n项的和为()A.4(-)B.4(-)C.1-D.答案:A解析:∵an=…,∴bn==4(-).∴Sn=4(---…-)=4(-).6.如果lgx+lgx2+lgx10=110,那么lgx+lg2x+…+lg10x=.答案:2046解析:由已知(1+2+…+10)lgx=110,∴55lgx=110.∴lgx=2.∴lgx+lg2x+…+lg10x=2+22+…+210=211-2=2046.7.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81.若数列{bn}满足bn=log3an,则数列{}的前2013项的和为.答案:解析:=q3=27,∴q=3.∴an=a1·qn-1=3×3n-1=3n.∴bn=log3an=n.∴,∴数列{}的前2013项的和为:(-)(-)+…+(-)=1-.8.已知等比数列{an}的各项都为正数,且当n≥3时,a4·a2n-4=102n,则数列lga1,2lga2,22lga3,23lga4,…,2n-1lgan的前n项和Sn等于.答案:1+(n-1)·2n解析:∵{an}是等比数列,∴a4a2n-4==102n.∴an=10n,∴2n-1lgan=n·2n-1.利用错位相减法求得Sn=1+(n-1)2n.9.正项数列{an}满足:-(2n-1)an-2n=0.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)由-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.由于{an}是正项数列,所以an=2n.(2)由an=2n,bn=,则bn=(-),Tn=(-+…+-)(-).10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.(1)求an,bn;(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.解:(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1.当n=1时,4×1-1=3.所以an=4n-1,n∈N*.由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N*.(2)由(1)知anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N*.所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.故Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.