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第三章不等式§3.1不等关系与不等式课时目标1.初步学会作差法比较两实数的大小.2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.1.比较实数a,b的大小(1)文字叙述如果a-b是正数,那么ab;如果a-b等于0,那么a=b;如果a-b是负数,那么ab,反之也成立.(2)符号表示a-b0⇔ab;a-b=0⇔a=b;a-b0⇔ab.2.常用的不等式的基本性质(1)ab⇔ba(对称性);(2)ab,bc⇒ac(传递性);(3)ab⇒a+cb+c(可加性);(4)ab,c0⇒acbc;ab,c0⇒acbc;(5)ab,cd⇒a+cb+d;(6)ab0,cd0⇒acbd;(7)ab0,n∈N,n≥2⇒anbn;(8)ab0,n∈N,n≥2⇒nanb.一、选择题1.若a,b,c∈R,ab,则下列不等式成立的是()A.1a1bB.a2b2C.ac2+1bc2+1D.a|c|b|c|答案C解析对A,若a0b,则1a0,1b0,此时1a1b,∴A不成立;对B,若a=1,b=-2,则a2b2,∴B不成立;对C,∵c2+1≥1,且ab,∴ac2+1bc2+1恒成立,∴C正确;对D,当c=0时,a|c|=b|c|,∴D不成立.2.已知a0,b-1,则下列不等式成立的是()A.aabab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a答案D解析取a=-2,b=-2,则ab=1,ab2=-12,∴abab2a.3.已知a、b为非零实数,且ab,则下列命题成立的是()A.a2b2B.a2bab2C.1ab21a2bD.baab答案C解析对于A,当a0,b0时,a2b2不成立;对于B,当a0,b0时,a2b0,ab20,a2bab2不成立;对于C,∵ab,1a2b20,∴1ab21a2b;对于D,当a=-1,b=1时,ba=ab=-1.4.若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则()A.abcB.cabC.bacD.bca答案C解析∵1ex1,∴-1lnx0.令t=lnx,则-1t0.∴a-b=t-2t=-t0,∴ab.c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1),又∵-1t0,∴0t+11,-2t-1-1,∴c-a0,∴ca.∴cab.5.设a,b∈R,若a-|b|0,则下列不等式中正确的是()A.b-a0B.a3+b30C.a2-b20D.b+a0答案D解析由a|b|得-aba,∴a+b0,且a-b0.∴b-a0,A错,D对.可取特值,如a=2,b=-1,a3+b3=70,故B错.而a2-b2=(a-b)(a+b)0,∴C错.6.若abc且a+b+c=0,则下列不等式中正确的是()A.abacB.acbcC.a|b|c|b|D.a2b2c2答案A解析由abc及a+b+c=0知a0,c0,又∵a0,bc,∴abac.故选A.二、填空题7.若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为________.答案[-1,6]解析∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1,又1≤a≤5,∴-1≤a-b≤6.8.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是________.答案f(x)g(x)解析∵f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+10,∴f(x)g(x).9.若x∈R,则x1+x2与12的大小关系为________.答案x1+x2≤12解析∵x1+x2-12=2x-1-x221+x2=-x-1221+x2≤0,∴x1+x2≤12.10.设n1,n∈N,A=n-n-1,B=n+1-n,则A与B的大小关系为________.答案AB解析A=1n+n-1,B=1n+1+n.∵n+n-1n+1+n,并且都为正数,∴AB.三、解答题11.设ab0,试比较a2-b2a2+b2与a-ba+b的大小.解方法一作差法a2-b2a2+b2-a-ba+b=a+ba2-b2-a-ba2+b2a2+b2a+b=a-b[a+b2-a2+b2]a2+b2a+b=2aba-ba+ba2+b2∵ab0,∴a+b0,a-b0,2ab0.∴2aba-ba+ba2+b20,∴a2-b2a2+b2a-ba+b.方法二作商法∵ab0,∴a2-b2a2+b20,a-ba+b0.∴a2-b2a2+b2a-ba+b=a+b2a2+b2=a2+b2+2aba2+b2=1+2aba2+b21.∴a2-b2a2+b2a-ba+b.12.设f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,其中x>0且x≠1,试比较f(x)与g(x)的大小.解f(x)-g(x)=1+logx3-2logx2=logx3x4,①当0<x<1,3x4>1,或x>1,0<3x4<1,即1<x<43时,logx3x4<0,∴f(x)<g(x);②当3x4=1,即x=43时,logx3x4=0,即f(x)=g(x);③当0<x<1,0<3x4<1,或x>1,3x4>1,即0<x<1,或x>43时,logx3x4>0,即f(x)>g(x).综上所述,当1<x<43时,f(x)<g(x);当x=43时,f(x)=g(x);当0<x<1,或x>43时,f(x)>g(x).能力提升13.若0a1a2,0b1b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是()A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.12答案A解析方法一特殊值法.令a1=14,a2=34,b1=14,b2=34,则a1b1+a2b2=1016=58,a1a2+b1b2=616=38,a1b2+a2b1=616=38,∵581238,∴最大的数应是a1b1+a2b2.方法二作差法.∵a1+a2=1=b1+b2且0a1a2,0b1b2,∴a2=1-a1a1,b2=1-b1b1,∴0a112,0b112.又a1b1+a2b2=a1b1+(1-a1)(1-b1)=2a1b1+1-a1-b1,a1a2+b1b2=a1(1-a1)+b1(1-b1)=a1+b1-a21-b21,a1b2+a2b1=a1(1-b1)+b1(1-a1)=a1+b1-2a1b1,∴(a1b2+a2b1)-(a1a2+b1b2)=a21+b21-2a1b1=(a1-b1)2≥0,∴a1b2+a2b1≥a1a2+b1b2.∵(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=4a1b1+1-2a1-2b1=1-2a1+2b1(2a1-1)=(2a1-1)(2b1-1)=4a1-12b1-120,∴a1b1+a2b2a1b2+a2b1.∵(a1b1+a2b2)-12=2a1b1+12-a1-b1=b1(2a1-1)-12(2a1-1)=(2a1-1)b1-12=2a1-12b1-120,∴a1b1+a2b212.综上可知,最大的数应为a1b1+a2b2.14.设x,y,z∈R,试比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.解∵5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2,当且仅当x=y=12且z=1时取到等号.1.比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.a-b0⇔ab;a-b=0⇔a=b;a-b0⇔ab.2.作差法比较的一般步骤第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“积”;第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0.(不确定的要分情况讨论)最后得结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键.3.不等式的性质是不等式变形的依据,每一步变形都要严格依照性质进行,千万不可想当然.
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