高二数学人教A必修5练习第一章解三角形Word版含解析

第一章解三角形§1.1正弦定理和余弦定理1．1.1正弦定理(一)课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC中，A＋B＋C＝π，A2＋B2＋C2＝π2.2．在Rt△ABC中，C＝π2，则ac＝sin_A，bc＝sin_B.3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA＝bsinB＝csinC，这个比值是三角形外接圆的直径2R.一、选择题1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于()A．1∶2∶3B．2∶3∶4C．3∶4∶5D．1∶3∶2答案D2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为()A.3＋1B．23＋1C．26D．2＋23答案C解析由正弦定理asinA＝bsinB，得4sin45°＝bsin60°，∴b＝26.3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形答案A解析sin2A＝sin2B＋sin2C⇔(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．4．在△ABC中，若sinAsinB，则角A与角B的大小关系为()A．ABB．ABC．A≥BD．A，B的大小关系不能确定答案A解析由sinAsinB⇔2RsinA2RsinB⇔ab⇔AB.5．在△ABC中，A＝60°，a＝3，b＝2，则B等于()A．45°或135°B．60°C．45°D．135°答案C解析由asinA＝bsinB得sinB＝bsinAa＝2sin60°3＝22.∵ab，∴AB，B60°∴B＝45°.6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝3a，B＝30°，那么角C等于()A．120°B．105°C．90°D．75°答案A解析∵c＝3a，∴sinC＝3sinA＝3sin(180°－30°－C)＝3sin(30°＋C)＝332sinC＋12cosC，即sinC＝－3cosC.∴tanC＝－3.又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.二、填空题7．在△ABC中，AC＝6，BC＝2，B＝60°，则C＝_________.答案75°解析由正弦定理得2sinA＝6sin60°，∴sinA＝22.∵BC＝2AC＝6，∴A为锐角．∴A＝45°.∴C＝75°.8．在△ABC中，若tanA＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.答案102解析∵tanA＝13，A∈(0°，180°)，∴sinA＝1010.由正弦定理知BCsinA＝ABsinC，∴AB＝BCsinCsinA＝1×sin150°1010＝102.9．在△ABC中，b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝________.答案1解析由正弦定理，得3sin2π3＝1sinB，∴sinB＝12.∵C为钝角，∴B必为锐角，∴B＝π6，∴A＝π6.∴a＝b＝1.10．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝______.答案30°解析∵b＝2a∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA，化简得：sinA＝33cosA，∴tanA＝33，∴A＝30°.三、解答题11．在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形．解∵asinA＝bsinB＝csinC，∴b＝asinBsinA＝22sin45°sin30°＝22×2212＝4.∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c＝asinCsinA＝22sin105°sin30°＝22sin75°12＝2＋23.12．在△ABC中，已知a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形．解a＝23，b＝6，ab，A＝30°90°.又因为bsinA＝6sin30°＝3，absinA，所以本题有两解，由正弦定理得：sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，故B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝a2＋b2＝43；当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝23.所以B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.能力提升13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．答案π6解析∵sinB＋cosB＝2sin(π4＋B)＝2.∴sin(π4＋B)＝1.又0Bπ，∴B＝π4.由正弦定理，得sinA＝asinBb＝2×222＝12.又ab，∴AB，∴A＝π6.14．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求ab的取值范围．解在锐角三角形ABC中，A，B，C90°，即B90°，2B90°，180°－3B90°，∴30°B45°.由正弦定理知：ab＝sinAsinB＝sin2BsinB＝2cosB∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.A为锐角absinAa＝bsinAbsinAaba≥b无解一解(直角)两解(一锐角，一钝角)一解(锐角)A为直角或钝角a≤bab无解一解(锐角)1.1.1正弦定理(二)课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R的常见变形：(1)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；(2)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R；(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(4)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.2．三角形面积公式：S＝12absinC＝12bcsinA＝12casinB.一、选择题1．在△ABC中，sinA＝sinB，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案D2．在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，∴tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.3．在△ABC中，sinA＝34，a＝10，则边长c的取值范围是()A.152，＋∞B．(10，＋∞)C．(0,10)D.0，403答案D解析∵csinC＝asinA＝403，∴c＝403sinC.∴0c≤403.4．在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案A解析由a＝2bcosC得，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．6∶5∶4B．7∶5∶3C．3∶5∶7D．4∶5∶6答案B解析∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴b＋c4＝c＋a5＝a＋b6.令b＋c4＝c＋a5＝a＋b6＝k(k0)，则b＋c＝4kc＋a＝5ka＋b＝6k，解得a＝72kb＝52kc＝32k.∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为()A．1B．2C.12D．4答案A解析设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，得R＝1，由S△＝12absinC＝abc4R＝abc4＝14，∴abc＝1.二、填空题7．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝________.答案23解析∵cosC＝13，∴sinC＝223，∴12absinC＝43，∴b＝23.8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c＝________.答案2解析由正弦定理asinA＝bsinB，得3sin60°＝1sinB，∴sinB＝12，故B＝30°或150°.由ab，得AB，∴B＝30°，故C＝90°，由勾股定理得c＝2.9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA＋b2sinB＋2csinC＝________.答案7解析∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴asinA＝bsinB＝csinC＝2R＝2，∴asinA＋b2sinB＋2csinC＝2＋1＋4＝7.10．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝________，c＝________.答案126解析a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA＝6332＝12.∵S△ABC＝12absinC＝12×63×12sinC＝183，∴sinC＝12，∴csinC＝asinA＝12，∴c＝6.三、解答题11．在△ABC中，求证：a－ccosBb－ccosA＝sinBsinA.证明因为在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R，所以左边＝2RsinA－2RsinCcosB2RsinB－2RsinCcosA＝sinB＋C－sinCcosBsinA＋C－sinCcosA＝sinBcosCsinAcosC＝sinBsinA＝右边．所以等式成立，即a－ccosBb－ccosA＝sinBsinA.12．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．解设三角形外接圆半径为R，则a2tanB＝b2tanA⇔a2sinBcosB＝b2sinAcosA⇔4R2sin2AsinBcosB＝4R2sin2BsinAcosA⇔sinAcosA＝sinBcosB⇔sin2A＝sin2B⇔2A＝2B或2A＋2B＝π⇔A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．能力提升13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为()A．45°B．60°C．75°D．90°答案C解析设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°，∴sinCsinA＝sin()120°－AsinA＝sin120°cosA－cos120°sinAsinA＝32tanA＋12＝3＋12＝32＋12，∴tanA＝1，A＝45°，C＝75°.14．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.解cosB＝2cos2B2－1＝35，故B为锐角，sinB＝45.所以sinA＝sin(π－B－C)＝sin3π4－B＝7210.由正弦定理得c＝asinCsinA＝107，所以S△ABC＝12acsinB＝12×2×107×45＝87.1．在△ABC中，有以下结论：(1)A＋B＋C＝π；(2)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；(3)A＋B2＋C2＝π2；(4)sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2，tanA＋B2＝1tanC2.2．借助正弦定理可以进行三角形中