高二数学人教A必修5练习第一章解三角形章末检测AWord版含解析

第一章章末检测（A）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝52b，A＝2B，则cosB等于()A.53B.54C.55D.56答案B解析由正弦定理得ab＝sinAsinB，∴a＝52b可化为sinAsinB＝52.又A＝2B，∴sin2BsinB＝52，∴cosB＝54.2.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=10，则BA·AC→等于()A．－32B．－23C.23D.32答案A解析由余弦定理得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝9＋4－1012＝14.∴AB·AC→＝|AB→|·|AC→|·cosA＝3×2×14＝32.∴BA·AC→＝－AB→·AC→＝－32.3．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于()A．25B.5C．25或5D．以上都不对答案C解析∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴5＝15＋c2－215×c×32.化简得：c2－35c＋10＝0，即(c－25)(c－5)＝0，∴c＝25或c＝5.4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是()A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解答案D解析A中，因asinA＝bsinB，所以sinB＝16×sin30°8＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，sinC＝20sin60°18＝539，且cb，∴CB，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝a2－c2＝25－4＝21，即有解，故A、B、C都不正确．5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为()A.922B.924C.928D．92答案C解析设另一条边为x，则x2＝22＋32－2×2×3×13，∴x2＝9，∴x＝3.设cosθ＝13，则sinθ＝223.∴2R＝3sinθ＝3223＝924，R＝928.6．在△ABC中，cos2A2＝b＋c2c(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形D．正三角形答案A解析由cos2A2＝b＋c2c⇒cosA＝bc，又cosA＝b2＋c2－a22bc，∴b2＋c2－a2＝2b2⇒a2＋b2＝c2，故选A.7．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝6＋2，且A＝75°，则b等于()A．2B.6－2C．4－23D．4＋23答案A解析sinA＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝6＋24，由a＝c知，C＝75°，B＝30°.sinB＝12.由正弦定理：bsinB＝asinA＝6＋26＋24＝4.∴b＝4sinB＝2.8．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝6，cosA＝78，则△ABC的面积S为()A.152B.15C.8155D．63答案A解析由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，即6＝4c2＋c2－4c2·78.∴c＝2，从而b＝4.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×2×4×1－782＝152.9．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于()A.21B.106C.69D.154答案B解析设BC＝a，则BM＝MC＝a2.在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AM·cos∠AMB，即72＝14a2＋42－2×a2×4·cos∠AMB①在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC即62＝42＋14a2＋2×4×a2·cos∠AMB②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a2，∴a＝106.10．若sinAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC是()A．等边三角形B．有一内角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形答案C解析∵sinAa＝cosBb，∴acosB＝bsinA，∴2RsinAcosB＝2RsinBsinA,2RsinA≠0.∴cosB＝sinB，∴B＝45°.同理C＝45°，故A＝90°.11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案D解析∵(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，∴a2＋c2－b22ac·tanB＝32，即cosB·tanB＝sinB＝32.∵0Bπ，∴角B的值为π3或2π3.12．△ABC中，A＝π3，BC＝3，则△ABC的周长为()A．43sinB＋π3＋3B．43sinB＋π6＋3C．6sinB＋π3＋3D．6sinB＋π6＋3答案D解析A＝π3，BC＝3，设周长为x，由正弦定理知BCsinA＝ACsinB＝ABsinC＝2R，由合分比定理知BCsinA＝AB＋BC＋ACsinA＋sinB＋sinC，即332＝x32＋sinB＋sinC.∴2332＋sinB＋sinA＋B＝x，即x＝3＋23sinB＋sinB＋π3＝3＋23sinB＋sinBcosπ3＋cosBsinπ3＝3＋23sinB＋12sinB＋32cosB＝3＋2332sinB＋32cosB＝3＋632sinB＋12cosB＝3＋6sinB＋π6.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．在△ABC中，2asinA－bsinB－csinC＝________.答案014．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为________．答案π6解析∵a2＋c2－b2＝3ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝3ac2ac＝32，∴B＝π6.15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinC＝________.答案1解析在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋C＝2B.∴B＝π3.由正弦定理知，sinA＝asinBb＝12.又ab.∴A＝π6，C＝π2.∴sinC＝1.16．钝角三角形的三边为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________．答案32≤a3解析由a＋a＋1a＋2a2＋a＋12－a＋220a2＋a＋12－a＋222aa＋1≥－12.解得32≤a3.三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(10分)如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．解设我艇追上走私船所需时间为t小时，则BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcos120°，∴t＝2.答我艇追上走私船所需的时间为2小时．18．(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cosA＝45.(1)求sin2B＋C2＋cos2A的值；(2)若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a.解(1)sin2B＋C2＋cos2A＝1－cosB＋C2＋cos2A＝1＋cosA2＋2cos2A－1＝5950.(2)∵cosA＝45，∴sinA＝35.由S△ABC＝12bcsinA，得3＝12×2c×35，解得c＝5.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a＝13.19．(12分)如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE.解(1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，∴∠CBE＝15°.∴cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE中，AB＝2，由正弦定理得AEsin∠ABE＝ABsin∠AEB，即AEsin45°－15°＝2sin90°＋15°，故AE＝2sin30°cos15°＝2×126＋24＝6－2.20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cosB＝35.(1)若b＝4，求sinA的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．解(1)∵cosB＝350，且0Bπ，∴sinB＝1－cos2B＝45.由正弦定理得asinA＝bsinB，sinA＝asinBb＝2×454＝25.(2)∵S△ABC＝12acsinB＝4，∴12×2×c×45＝4，∴c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b＝17.21．(12分)(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．解(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝120°.(2)方法一由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，又A＝120°，∴sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝34，∵sinB＋sinC＝1，∴sinC＝1－sinB.∴sin2B＋(1－sinB)2＋sinB(1－sinB)＝34，即sin2B－sinB＋14＝0.解得sinB＝12.故sinC＝12.∴B＝C＝30°.所以，△ABC是等腰的钝角三角形．方法二由(1)A＝120°，∴B＋C＝60°，则C＝60°－B，∴sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝sinB＋32cosB－12sinB＝12sinB＋32cosB＝sin(B＋60°)＝1，∴B＝30°，C＝30°.∴△ABC是等腰的钝角三角形．22．(14分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．(1)证明∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·a2R＝b·b2R，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S△ABC＝12absinC＝12×4×sinπ3＝3.