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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 高二数学人教A必修5练习第二章习题课2Word版含解析
1、习题课(2)课时目标1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式;2.掌握数列求和的几种基本方法.1.等差数列的前n项和公式:Sn=na1+an2=na1+nn-12d.2.等比数列前n项和公式:(1)当q=1时,Sn=na1;(2)当q≠1时,Sn=a11-qn1-q=a1-anq1-q.3.数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an,则an=S1n=1Sn-Sn-1n≥2.4.拆项成差求和经常用到下列拆项公式:(1)1nn+1=1n-1n+1;(2)12n-12n+1=12(12n-1-12n+1);(3)1n+n+1=n+1-n.一、选择题1.数列{an}的前n项和为Sn,若an=1nn+1,则S5等于()A.1B.56C.16D.130答案B解析∵an=1nn+1=1n-1n+1,∴S5=(1-12)+(12-13)+…+(15-16)=1-16=56.2.数列{an}的通项公式an=1n+n+1,若前n项的和为10,则项数为()A.11B.99C.120D.121答案C解析∵an=1n+n+1=n+1-n,∴Sn=n+1-1。
2、=10,∴n=120.3.数列112,214,318,4116,…的前n项和为()A.12(n2+n+2)-12nB.12n(n+1)+1-12n-1C.12(n2-n+2)-12nD.12n(n+1)+2(1-12n)答案A解析112+214+318+…+(n+12n)=(1+2+…+n)+(12+14+…+12n)=nn+12+121-12n1-12=12(n2+n)+1-12n=12(n2+n+2)-12n.4.已知数列{an}的通项an=2n+1,由bn=a1+a2+a3+…+ann所确定的数列{bn}的前n项之和是()A.n(n+2)B.12n(n+4)C.12n(n+5)D.12n(n+7)答案C解析a1+a2+…+an=n2(2n+4)=n2+2n.∴bn=n+2,∴bn的前n项和Sn=nn+52.5.已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1n,则S17+S33+S50等于()A.0B.1C.-1D.2答案B解析S17=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17=9,S33=(1-2)+(3-4)+…+(31-32)+33=17,S50=(1-2)+。
3、(3-4)+…+(49-50)=-25,所以S17+S33+S50=1.6.数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1是首项为1,公比为2的等比数列,那么an等于()A.2n-1B.2n-1-1C.2n+1D.4n-1答案A解析由于an-an-1=1×2n-1=2n-1,那么an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=1+2+…+2n-1=2n-1.二、填空题7.一个数列{an},其中a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,那么这个数列的第5项是________.答案-68.在数列{an}中,an+1=2an2+an,对所有正整数n都成立,且a1=2,则an=______.答案2n解析∵an+1=2an2+an,∴1an+1=1an+12.∴1an是等差数列且公差d=12.∴1an=1a1+(n-1)×12=12+n-12=n2,∴an=2n.9.在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________.答案1473解析100内所有能被3整除的数的和为:S1=3+6+…+99=33×3+992=1683.100内所有能被2。
4、1整除的数的和为:S2=21+42+63+84=210.∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为S1-S2=1683-210=1473.10.数列{an}中,Sn是其前n项和,若a1=1,an+1=13Sn(n≥1),则an=____________.答案1,n=113·43n-2,n≥2解析an+1=13Sn,an+2=13Sn+1,∴an+2-an+1=13(Sn+1-Sn)=13an+1,∴an+2=43an+1(n≥1).∵a2=13S1=13,∴an=1,n=113·43n-2,n≥2.三、解答题11.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=1a2n-1(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.因为a3=7,a5+a7=26,所以a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2.所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+nn-12×2=n2+2n.所以,an=2n+。
5、1,Sn=n2+2n.(2)由(1)知an=2n+1,所以bn=1a2n-1=12n+12-1=14·1nn+1=14·1n-1n+1,所以Tn=14·(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=14·(1-1n+1)=n4n+1,即数列{bn}的前n项和Tn=n4n+1.12.设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3·22n-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)由已知,当n≥1时,an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2,符合上式,所以数列{an}的通项公式为an=22n-1.(2)由bn=nan=n·22n-1知Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1,①从而22·Sn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.②①-②得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,即Sn=19[(3n-1)22n+1+2].能力提升13.在数列{an}中,。
6、a1=2,an+1=an+ln1+1n,则an等于()A.2+lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnD.1+n+lnn答案A解析∵an+1=an+ln1+1n,∴an+1-an=ln1+1n=lnn+1n=ln(n+1)-lnn.又a1=2,∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2+[ln2-ln1+ln3-ln2+ln4-ln3+…+lnn-ln(n-1)]=2+lnn-ln1=2+lnn.14.已知正项数列{an}的前n项和Sn=14(an+1)2,求{an}的通项公式.解当n=1时,a1=S1,所以a1=14(a1+1)2,解得a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=14(an+1)2-14(an-1+1)2=14(a2n-a2n-1+2an-2an-1),∴a2n-a2n-1-2(an+an-1)=0,∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0.∵an+an-10,∴an-an-1-2=0.∴an-an-1=2.∴{an}是首项为1,公差为2的等差数列.∴an=1+2(n-1)=2n-1.1。
7、.递推公式是表示数列的一种重要方法.由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式.其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法.2.求数列前n项和,一般有下列几种方法:错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并项等,学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法.。
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