高二数学人教A版选修45学业分层测评6Word版含答案

学业分层测评（六）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a＞2，b＞2，则()A．ab≥a＋bB．ab≤a＋bC．ab＞a＋bD.ab＜a＋b【解析】∵a＞2，b＞2，∴a2－1＞0，b2－1＞0，则ab－(a＋b)＝a12b－1＋b12a－1＞0，∴ab＞a＋b.【答案】C2．已知a＞b＞－1，则1a＋1与1b＋1的大小关系为()A.1a＋1＞1b＋1B.1a＋1＜1b＋1C.1a＋1≥1b＋1D.1a＋1≤1b＋1【解析】∵a＞b＞－1，∴a＋1＞0，b＋1＞0，a－b＞0，则1a＋1－1b＋1＝b－aa＋1b＋1＜0，∴1a＋1＜1b＋1.【答案】B3．a，b都是正数，P＝a＋b2，Q＝a＋b，则P，Q的大小关系是()【导学号：32750031】A．P＞QB．P＜QC．P≥QD.P≤Q【解析】∵a，b都是正数，∴P＞0，Q＞0，∴P2－Q2＝a＋b22－(a＋b)2＝－a－b22≤0(当且仅当a＝b时取等号)，∴P2－Q2≤0.∴P≤Q.【答案】D4．下列四个数中最大的是()A．lg2B．lg2C．(lg2)2D.lg(lg2)【解析】∵0＜lg2＜1＜2＜2，∴lg(lg2)＜0＜lg2＜lg2，且(lg2)2＜lg2，故选A.【答案】A5．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b10，a3＝b30，a1≠a3，则a5与b5的大小关系是()A．a5b5B．a5b5C．a5＝b5D.不确定【解析】设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，则a5－b5＝a1q4－(b1＋4d)＝a1q4－(a1＋4d)．∵a3＝b3，∴a1q2＝b1＋2d，即a1q2＝a1＋2d，∴a21q4＝(a1＋2d)2＝a21＋4a1d＋4d2，∴a5－b5＝a21q4－a1a1＋4da1＝a21＋4a1d＋4d2－a1a1＋4da1＝4d2a1.∵a10，d≠0，∴a5－b50，∴a5b5.【答案】B二、填空题6．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若PQ，则实数a，b满足的条件为________.【导学号：32750032】【解析】P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2.∵PQ，∴P－Q0，即(ab－1)2＋(a＋2)20，∴ab≠1或a≠－2.【答案】ab≠1或a≠－27．若x＜y＜0，M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x2－y2)(x＋y)，则M，N的大小关系为________．【解析】M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，∴－2xy(x－y)＞0，∴M－N＞0，即M＞N.【答案】M＞N8．已知a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，则1＋a与11－b的大小关系是________．【解析】∵a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，∴(1＋a)(1－b)＝1＋a－b－ab＞1.从而1＋a11－b＝1＋a1－b＞1，∴1＋a＞11－b.【答案】1＋a＞11－b三、解答题9．已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.【证明】∵a＞2，则a－1＞1，∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0，由于logaa－1loga＋1a＝loga(a－1)·loga(a＋1)＜logaa－1＋logaa＋122＝logaa2－122.∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2，∴logaa2－122＜logaa222＝1，因此logaa－1loga＋1a＜1.∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.10．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．(1)求q的值；(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．【解】(1)由题设知2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q.又a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或－12.(2)若q＝1，则Sn＝2n＋nn－12＝n2＋3n2＝nn＋32.当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝n－1n＋22＞0，故Sn＞bn.若q＝－12，则Sn＝2n＋nn－12·－12＝－n2＋9n4＝－n－9n4.当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝－n－1n－104，故对于n∈N＋，当2≤n≤9时，Sn＞bn；当n＝10时，Sn＝bn；当n≥11时，Sn＜bn.[能力提升]1．已知a＞0，b＞0，m＝ab＋ba，n＝a＋b，p＝a＋b，则m，n，p的大小顺序是()A．m≥n＞pB．m＞n≥pC．n＞m＞pD.n≥m＞p【解析】由已知m＝ab＋ba，n＝a＋b，得a＝b＞0时m＝n，可否定B，C.比较A，D项，不必论证与p的关系．取特值a＝4，b＝1，则m＝4＋12＝92，n＝2＋1＝3，∴m＞n，可排除D.【答案】A2．设m＞n，n∈N*，a＝(lgx)m＋(lgx)－m，b＝(lgx)n＋(lgx)－n，x＞1，则a与b的大小关系为()A．a≥bB．a≤bC．与x值有关，大小不定D.以上都不正确【解析】要比较a与b的大小，通常采用比较法，根据a与b均为对数表达式，只有作差，a与b两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a与b的大小．a－b＝lgmx＋lg－mx－lgnx－lg－nx＝(lgmx－lgnx)－1lgnx－1lgmx＝(lgmx－lgnx)－lgmx－lgnxlgmxlgnx＝(lgmx－lgnx)1－1lgmxlgnx＝(lgmx－lgnx)1－1lgm＋nx.∵x＞1，∴lgx＞0.当0＜lgx＜1时，a＞b；当lgx＝1时，a＝b；当lgx＞1时，a＞b.∴应选A.【答案】A3．一个个体户有一种商品，其成本低于35009元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．【解析】设这种商品的成本费为a元．月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5%，月末售出的利润为L2＝120－2%a，则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a＝0.045a－35009，∵a＜35009，∴L1＜L2，月末出售好．【答案】月末4．若实数x，y，m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2abab.【证明】∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴a2b＋ab2＞2abab，a3＋b3＞2abab.∴a2b＋ab2－2abab＞0，a3＋b3－2abab＞0.∴|a2b＋ab2－2abab|－|a3＋b3－2abab|＝a2b＋ab2－2abab－a3－b3＋2abab＝a2b＋ab2－a3－b3＝a2(b－a)＋b2(a－b)＝(a－b)(b2－a2)＝－(a－b)2(a＋b)＜0，∴|a2b＋ab2－2abab|＜|a3＋b3－2abab|，∴a2b＋ab2比a3＋b3接近2abab.