高二数学人教A版选修45学业分层测评7Word版含答案

学业分层测评（七）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是()A.1a＜1bB．a2＞b2C.ac2＋1＞bc2＋1D.a|c|＞b|c|【解析】∵a＞b，c2＋1＞0，∴ac2＋1＞bc2＋1，故选C.【答案】C2．设13＜13b＜13a＜1，则()A．aa＜ab＜baB．aa＜ba＜abC．ab＜aa＜baD.ab＜ba＜aa【解析】∵13＜13b＜13a＜1，∴0＜a＜b＜1，∴aaab＝aa－b＞1，∴ab＜aa，aaba＝aba.∵0＜ab＜1，a＞0，∴aba＜1，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba.故选C.【答案】C3．已知条件p：ab0，q：ba＋ab≥2，则p与q的关系是()【导学号：32750037】A．p是q的充分而不必要条件B．p是q的必要而不充分条件C．p是q的充要条件D．以上答案都不对【解析】当ab0时，ba0，ab0，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2.当ba＋ab≥2时，∴a2＋b2－2abab≥0，a－b2ab≥0，(a－b)2≥0，∴ab0，综上，ab0是ba＋ab≥2的充要条件．【答案】C4．已知a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是()A.ab＋ba≥2B.b2a＋a2b≥a＋bC.ba2＋ab2≤a＋babD.1a2＋1b2≥2ab【解析】A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0，正确；C选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确．【答案】C5．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则()A．S≥2PB．P＜S＜2PC．S＞PD.P≤S＜2P【解析】∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，即S≥P.又三角形中|a－b|＜c，∴a2＋b2－2ab＜c2，同理b2－2bc＋c2＜a2，c2－2ac＋a2＜b2，∴a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)，即S＜2P.【答案】D二、填空题6．有以下四个不等式：①(x＋1)(x＋3)＞(x＋2)2；②ab－b2＜a2；③1|a|＋1＞0；④a2＋b2≥2|ab|.其中恒成立的为________(写出序号即可)．【解析】对于①，x2＋4x＋3＞x2＋4x＋4,3＞4不成立；对于②，当a＝b＝0时，0＜0不成立；③④显然成立．【答案】③④7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，则a＋bc的取值范围是________．【解析】∵a2＋b2＝c2，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝2c2，∴a＋bc≤2，当且仅当a＝b时，取等号．又∵a＋bc，∴a＋bc1.【答案】(1，2]8．已知a＞0，b＞0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，1R是1a，1b的等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为________．【解析】∵P＝a＋b2，Q＝ab，2R＝1a＋1b，∴R＝2aba＋b≤Q＝ab≤P＝a＋b2，当且仅当a＝b时取等号．【答案】P≥Q≥R三、解答题9．设a＞0，b＞0，c＞0.证明：(1)1a＋1b≥4a＋b；(2)12a＋12b＋12c≥1b＋c＋1c＋a＋1a＋b.【证明】(1)∵a＞0，b＞0，∴(a＋b)1a＋1b≥2ab·21ab＝4，∴1a＋1b≥4a＋b.(2)由(1)知1a＋1b≥4a＋b，同时1b＋1c≥4b＋c，1c＋1a≥4c＋a，三式相加得：21a＋1b＋1c≥4b＋c＋4c＋a＋4a＋b，∴12a＋12b＋12c≥1b＋c＋1c＋a＋1a＋b.10．已知a≥1，求证：a＋1－a＜a－a－1.【证明】要证原不等式成立，只要证明a＋1＋a－1＜2a.因为a≥1，a＋1＋a－1＞0,2a＞0，所以只要证明2a＋2a2－1＜4a，即证a2－1＜a.所以只要证明a2－1＜a2，即证－1＜0即可．而－1＜0显然成立，所以a＋1－a＜a－a－1.[能力提升]1．若xy＋yz＋zx＝1，则x2＋y2＋z2与1的关系是()【导学号：32750038】A．x2＋y2＋z2≥1B．x2＋y2＋z2≤1C．x2＋y2＋z2＝1D.不确定【解析】x2＋y2＋z2＝12(x2＋y2＋y2＋z2＋z2＋x2)≥12(2xy＋2yz＋2zx)＝1，当且仅当x＝y＝z＝33时，取等号．【答案】A2．设a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，若M＝1a－1·1b－1·1c－1，则M的取值范围是________．【解析】∵a＋b＋c＝1，∴M＝1a－1·1b－1·1c－1＝a＋b＋ca－1·a＋b＋cb－1·a＋b＋cc－1＝ba＋ca·ab＋cb·ac＋bc≥2bca2·2acb2·2abc2＝8，即M的取值范围是[8，＋∞)．【答案】[8，＋∞)3．已知|a|＜1，|b|＜1，求证：a＋b1＋ab＜1.【证明】要证a＋b1＋ab＜1，只需证|a＋b|＜|1＋ab|，只需证a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＋a2b2，即证(1－a2)－b2(1－a2)＞0，也就是(1－a2)(1－b2)＞0，∵|a|＜1，|b|＜1，∴最后一个不等式显然成立．因此原不等式成立．4．若不等式1a－b＋1b－c＋λc－a＞0在条件a＞b＞c时恒成立，求实数λ的取值范围．【解】不等式可化为1a－b＋1b－c＞λa－c.∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，∴λ＜a－ca－b＋a－cb－c恒成立．∵a－ca－b＋a－cb－c＝a－b＋b－ca－b＋a－b＋b－cb－c＝2＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2＝4，∴λ≤4.故实数λ的取值范围是(－∞，4]．