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数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估知识整合提升数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估1.了解数列的概念及表示方法(1)定义:按照一定顺序排列着的一列数.(2)表示方法:列表法、图象法、通项公式法和递推公式法.(3)分类:按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列;按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列.(4)an与Sn的关系:an=S1n=1,Sn-Sn-1n≥2.数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估2.对比学习等差数列、等比数列的概念等差数列等比数列概念从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一常数的数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为0)的数列相同点①都强调每一项与它的前一项的关系;②结果都必须是常数;③数列都可由a1,d或a1,q确定不同点①强调的关系为差;②首项a1和公差d可以为零;③an+1-an=d,n∈N*①强调的关系为比;②首项a1和公比q均不为零;③an+1an=q,n∈N*数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估3.类比学习等差数列、等比数列的性质等差数列等比数列性质①设{an}是等差数列,若s+t=m+n,则as+at=am+an;②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列;③等差数列中连续m项的和组成的新数列是等差数列,即:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是等差数列①设{an}是等比数列,若s+t=m+n,则as·at=am·an;②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列;③等比数列中连续m项的和组成的新数列是等比数列,即:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是等比数列(注意:当q=-1且k为偶数时,不是等比数列)数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估等差数列等比数列函数特性①等差数列{an}的通项公式是n的一次函数,即an=an+b(a≠0,a=d,b=a1-d);②等差数列{an}的前n项和公式是一个不含常数项的n的二次函数,即Sn=an2+bn(d≠0)①等比数列{an}的通项公式是n的指数型函数,即an=c·qn,其中c≠0,c=a1q;②等比数列{an}的前n项和公式是一个关于n的指数型函数,即Sn=aqn-a(a≠0,q≠0,q≠1)数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估4.等差数列、等比数列的判断方法总结(1)定义法:an+1-an=d(常数)⇔{an}是等差数列;an+1an=q(q为常数,q≠0)⇔{an}是等比数列.(2)中项公式法:2an+1=an+an+2⇔{an}是等差数列;a2n+1=an·an+2(an≠0)⇔{an}是等比数列.(3)通项公式法:an=an+b(a,b是常数)⇔{an}是等差数列;an=c·qn(c,q为非零常数)⇔{an}是等比数列.(4)前n项和公式法:Sn=an2+bn(a,b为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列;Sn=aqn-a(a,q为常数,且a≠0,q≠0,q≠1,n∈N*)⇔{an}是等比数列.数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估5.解决数列综合问题的注意点(1)理解数列是特殊的函数,等差、等比数列的通项公式,前n项和公式都可以从方程角度来认识,因此应理解数列中的函数与方程等价转化、分类与整合等常用数学思想.(2)善于将这类题目分解为若干个基本数学问题各个击破.(3)对数列应用问题,要知道数列是刻画离散现象的基本数学模型,善于在对日常生活中大量实际问题分析的基础上建立数列模型,然后综合运用数列及其他数学知识解决实际问题,体会数列与函数、方程之间的联系.数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估热点考点例析数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估【点拨】1.等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,其中包含四个元素:an,a1,n和d,很显然我们可以做到“知三求一”.2.在解题时,我们往往通过解方程(组)来确定a1和d,从而就可以确定等差数列了,但是,有时这种解法运算过程稍微复杂了一点,如果能够灵活使用另一个公式an=am+(n-m)d可以简化运算.等差数列通项公式数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估已知{an}为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式.(1)a3=5,a7=13;(2)前三项为:a,2a-1,3-a.数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估[规范解答](1)方法一:设首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d=5,a7=a1+6d=13,解得a1=1,d=2.∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.∴通项公式是an=2n-1.方法二:∵d=a7-a37-3=13-57-3=2,∴an=a3+(n-3)d=5+(n-3)×2=2n-1.∴通项公式是an=2n-1.数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估(2)∵a,2a-1,3-a是等差数列的前三项,且a2-a1=a3-a2=d,∴2a-1-a=3-a-(2a-1),解得a=54.∴d=2a-1-a=a-1=14.∴an=a1+(n-1)d=54+(n-1)×14=14n+1.∴通项公式为an=14n+1.数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估1.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:∵a1+a5=10,a4=7,∴2a1+4d=10,a1+3d=7⇒d=2.数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估【点拨】运用等差数列的性质解题时,要注意序号与项的对应关系.在等差数列的学习过程中,最常见的错误是对等差数列性质的误用.公式am+an=ap+aq(其中p+q=m+n,m,n,p,q∈N*)表明,在等差数列中若每两项的序号和相等,则其对应项的和也相等,否则不成立.例如:我们有a2+a4=a1+a5=2a3,但不能得出a6=a2+a4.等差数列的性质数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估已知数列{an},{bn}均为等差数列,且{an}为2,5,8,…,{bn}为1,5,9,…,它们的项数均为40,则它们有多少个彼此具有相同数值的项?[规范解答]已知两等差数列的前3项,容易求得它们的通项公式分别为:an=3n-1,bm=4m-3(m,n∈N*,且1≤n≤40,1≤m≤40).令an=bm,得3n-1=4m-3,即n=4m-23=22m-13.数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估令2m-1=3t,∵(2m-1)∈N*为奇数,∴t∈N*且为奇数,∴m=3t+12,n=2t.而1≤m≤40,1≤n≤40,∴1≤3t+12≤40,1≤2t≤40,解得13≤t≤793,12≤t≤20.∴12≤t≤20.又t∈N*且为奇数,∴两数列中共有10个数值相同的项.数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估2.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=()A.58B.88C.143D.176答案:B解析:a4+a8=2a6=16,∴a6=8,而S11=11a1+a112=11a6=88.数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估【点拨】新课标要求理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式,并能在具体问题情境中识别数列的等比关系,还要求我们了解等比数列与指数函数的关系.等比数列的概念和性质数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估1.(1)等比数列的性质是等比数列基本规律的深刻体现,是解决等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识去应用.(2)在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.(3)“巧用性质、减少运算量”在等比数列的计算中非常重要,使用“基本量法”,并树立“目标意识”,“需要什么,就求什么”,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题的目标,往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估2.等比数列的概念、性质、通项公式是高考的必考内容,特别是与其他知识的交汇点,一直是考查的重要热点之一,常见的考题有:(1)判断、证明数列是等比数列;(2)运用通项公式求数列中的项;(3)解决数列与函数、三角、向量、几何等知识交汇点问题;(4)涉及递推关系的推理及运算问题.数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=n+2nSn(n=1,2,3,…).证明:(1)数列Snn是等比数列;(2)Sn+1=4an.数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估证明:(1)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=n+2nSn,所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).整理得nSn+1=2(n+1)Sn.所以Sn+1n+1=2Snn.故Snn是首项为1,公比为2的等比数列.数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估(2)由(1)知Sn+1n+1=4·Sn-1n-1(n≥2).Snn=2n-1,∴Sn=n·2n-1,∴an=Sn-Sn-1=(n+1)2n-2(n≥2).于是Sn+1=4(n+1)·Sn-1n-1=4an(n≥2).又a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4=4a1.因此对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估3.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7解析:a4+a7=2,a5a6=a4a7=-8⇒a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4.a4=4,a7=-2⇒a1=-8,a10=1⇒a1+a10=-7,a4=-2,a7=4⇒a10=-8,a1=1⇒a1+a10=-7.答案:D数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估1.数阵的特点所谓数阵是指将某些数,按一定的规律排成若干行和列,形成图表,也称之为数表.例如大家都非常熟悉的“杨辉三角”.2.以数阵为背景的数列问题数阵中的数是按一定的规律排成若干行和列,比较多见的是排成等差或等比数列,它重点考查等差、等比数列相关知识,有时也会出现其他类型的数列,解决此类问题的关键是找出其中的规律.以数阵为背景的数列问题数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,那么位于下表中的第n行第n+1列的数是________.第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估[规范解答]由数表可知,第n行的第一个数为n,该行各数构成以n为公差的等差数列,因此该行的第n+1个数为n+(n+1-1)n=n+n2.答案:n+n2数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估4.整数排成一个三角形数阵:1第1行23第2行456第3行78910第4行1112131415第5行按照以上排列的规律,从左向右记第n行的第j个数为f(n,j),n,j∈N*,我们称f(n,n)为三角形.现将所有的三角数按从小到大的顺序排成一三角数列,则满足等式f(n,n)=f(28,28)+59的f(n,n)是三角数列中的第________个.数学必修5第二章数列知识整合提升热点考点例析章末质量评估解析:由排列规律知f(n+1,n+1)-f(n,n)=n+1,则易得f(n,n)=1+2+3+…+n=nn+12,又f(n,n)=f(28,28)+59,∴nn+12=28×292+59,解得n=30(n=
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