人教版高中数学必修5课件第2章习题课1

数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升习题课求通项公式数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．掌握an与Sn的关系．2．利用递推公式求an.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升an与Sn的关系an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.根据已给出的关系式，令n＝n＋1(或n＝n－1)，写出一个an＋1(或an－1)与Sn＋1(或Sn－1)的关系式，然后将两式相减，消去Sn，得到an与an＋1(或an与an－1)的关系，从而确定数列{an}是等差数列或等比数列或其他数列，然后求出其通项公式．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有以下三种方法：(1)累加法：如果已知数列{an}的相邻两项an＋1与an的差的一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的差的关系式，然后把这n－1个式子相加，整理求出数列的通项公式．递推公式求an数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)累积法：如果已知数列{an}的相邻两项an＋1与an的商的一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这n－1个式子相乘，整理求出数列的通项公式．(3)构造法：根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式是()A．an＝(－1)nn3＋n2n＋1B．an＝(－1)nnn＋32n＋1C．an＝(－1)nn＋12－12n－1D．an＝(－1)nnn＋22n＋1数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：可将首项－1写成－33，分母为2n＋1，分子为(n＋1)2－1＝n(n＋2)，符号为(－1)n.答案：D数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64解析：a8＝S8－S7＝82－72＝15.答案：A数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．已知数列{an}的通项an与前n项和Sn之间满足关系式Sn＝2－3an，则an＝________.解析：∵Sn＝2－3an，①∴当n≥2时，Sn－1＝2－3an－1，②由①－②得，an＝－3an＋3an－1，即an＝34an－1.又当n＝1时，a1＝S1＝2－3a1，∴a1＝12，∴{an}是首项为12，公比为34的等比数列，∴an＝1234n－1.答案：1234n－1数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，求an.解析：在an＋1－an＝2n中，令n＝1，得a2－a1＝2；令n＝2，得a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)．把上面n－1个式子相加，得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝2＋2n－2n－12＝n2－n，∴an＝n2－n＋33.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升累加法在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)，求数列{an}的通项公式．[思路点拨]根据递推公式，写出n－1个等式an＝an－1＋2n－1(n依次取n，n－1，n－2，…，2)，将这n－1个等式左右两边分别相加即可．[边听边记]由于an－an－1＝2n－1(n≥2)，令n分别取n，n－1，n－2，…，3,2则可得an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2(n－1)－1，…，a3－a2＝2×3－1，a2－a1＝2×2－1.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升把上面的n－1个等式左右两边分别相加得an－a1＝2·n－1n＋22－(n－1)＝(n－1)(n＋2)－(n－1)＝n2－1.∵a1＝1，∴an＝n2(n≥2)．又∵a1＝1也适合上式，∴an＝n2(n∈N*)．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知形如an＋1－an＝f(n)型的递推公式求通项公式(1)当f(n)＝d为常数时，此时数列为等差数列，则an＝a1＋(n－1)d；(2)当f(n)为n的函数(非常数)时，用累加法．方法如下：由an＋1－an＝f(n)得当n≥2时，an－an－1＝f(n－1)，an－1－an－2＝f(n－2)，…a3－a2＝f(2)，a2－a1＝f(1)．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升以上(n－1)个等式累加得an－a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(2)＋f(1)，∴an＝a1＋k＝1n－1f(k)，为了书写方便，也可以用横式来写：∵当n≥2时，an－an－1＝f(n－1)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(2)＋f(1)＋a1.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋2n，求通项公式．解析：∵an＋1＝an＋2n，∴an＋1－an＝2n，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋21＋22＋…＋2n－1＝2＋21－2n－11－2＝2＋2n－2＝2n.∴an＝2n(n≥2)．又∵n＝1适合上式，∴an＝2n.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升累乘法数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝n＋1n＋2an(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．[思路点拨]令等式an＋1＝n＋1n＋2an中的n依次取n－1，n－2，…，1，得到n－1个等式，将这n－1个等式两边分别相乘．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：∵an＋1＝n＋1n＋2an(n∈N*)，∴令n依次取n－1，n－2，…，2,1，可得an＝nn＋1an－1，an－1＝n－1nan－2，…，a3＝34a2，a2＝23a1，将以上n－1个等式左右两边分别相乘得数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升anan－1…a3a2＝nn＋1·n－1n…34·23an－1an－2…a2a1，∴an＝2n＋1a1.∵a1＝1，∴an＝2n＋1(n≥2且n∈N*)，又a1＝1也适合上式，∴an＝2n＋1(n∈N*)．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知形如an＋1an＝f(n)型的递推公式求通项公式(1)当f(n)为常数时，即an＋1an＝q(其中q是不为0的常数)，此时数列为等比数列，an＝a1·qn－1.(2)当f(n)为n的函数(非常数)时，用累乘法．由an＋1an＝f(n)得n≥2时，anan－1＝f(n－1)，∴an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1＝f(n－1)·…·f(1)·a1.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2n·an，求an.解析：∵an＋1＝2n·an，∴an＝2n－1·an－1，∴an＝a1·a2a1·a3a2·a4a3·…·anan－1＝3×21·22·23·…·2n－1＝3×21＋2＋3＋…＋(n－1)＝3×2n－1·n2＝3·2n2－n2.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升构造法已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，求an.[思路点拨]将条件变形为an＋3＝2(an－1＋3)，则数列{an＋3}是等比数列，求出{an＋3}的通项公式．解析：∵an＋1＝2an＋3，∴an＝2an－1＋3，①设①式可写成an＋λ＝2(an－1＋λ)(λ为待定系数)的形式，即an＝2an－1＋λ，②①②两式对应系数比较，得λ＝3.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∴①式可写成an＋3＝2(an－1＋3)的形式，则an＋3an－1＋3＝2(n≥2)．因而数列{an＋3}(n≥2)是以2为公比的等比数列．设bn＝an＋3，b2＝a2＋3＝10，∴bn＝5×2n－1(n≥2)，∴an＝5×2n－1－3(n≥2)．又∵当n＝1时，a1＝2，符合上式，∴an＝5×2n－1－3(n∈N*)．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当题中出现an＋1＝pan＋q(pq≠0且p≠1)的形式时，把an＋1＝pan＋q变形为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋λ(p－1)，令λ(p－1)＝q，解得λ＝qp－1，从而构造出等比数列{an＋λ}．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．已知数列{an}满足a1＝23，an＋1＝12(an＋1)，求通项公式an.解析：∵an＋1＝12an＋12，∴an＋1－1＝12(an－1)．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升又a1－1＝－13.∴数列{an－1}是首项为－13，公比为12的等比数列．∴an－1＝－13×12n－1.∴an＝1－13×12n－1.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升由an与Sn的关系求an数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，对任意n∈N*，有an＋1＝13Sn，求数列{an}的通项公式．[思路点拨]解答本题可先利用an与Sn的关系：an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.消掉Sn，求出an，或消掉an求出Sn再求an.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[规范解答]方法一：当n＝1时，S1＝a1＝1.2分当n≥2时，an＋1－an＝13(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝13an，∴an＋1＝43an.6分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∴当n≥2时，数列{an}是以a2＝13S1＝13为首项，以43为公比的等比数列.8分∴当n≥2时，an＝a2·qn－2＝13·43n－2.10分综上，an＝1n＝1，13·43n－2n≥2.12分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：由an＋1＝13Sn得Sn＋1－Sn＝13Sn.即Sn＋1＝43Sn.4分∴数列{Sn}是以S1＝1为首项，以43为公比的等比数列.6分∴Sn＝S1qn－1＝43n－1.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当n≥2时，an＝13Sn－1＝1343n－2.8分当n＝1时，a1＝1不适合上式.10分综上，an＝1n＝1，13·43n－2n≥2.12分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升若已知an与Sn的等量关系，求an时，可先借助an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2，消掉an求出Sn后再求an，也可先消掉Sn利用等差、等比数列直接求出an，在求解具体题目时，需根据条件合理选择变形方向，通常情况下，先求Sn要比直接求an麻烦．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评