人教版高中数学必修五同课异构课件112余弦定理精讲优练课型

1.1.2余弦定理【知识提炼】余弦定理1.文字表述三角形中任何一边的平方等于___________________减去这两边与它们的_______________的两倍.其他两边的平方的和夹角的余弦的积2.公式表达a2=_____________，b2=_____________，c2=_____________.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC3.变形cosA=_________；cosB=_________；cosC=_________.222bca2bc222acb2ac222abc2ab【即时小测】1.思考下列问题:(1)在△ABC中，若a2b2+c2，则△ABC是锐角三角形吗？提示：不一定.因为△ABC中a不一定是最大边，所以△ABC不一定是锐角三角形.(2)已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？提示：由余弦定理可知：不妨设a，b边和其夹角C已知，则c2=a2+b2-2abcosC，c唯一，cosB=，因为0Bπ，所以B唯一，从而A也唯一.所以三角形其他元素唯一确定.222acb2ac2.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则边c的值是()【解析】选D.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=16+36-2×4×6×()=76，所以c=A.8B.217C.62D.21912219.3.若三角形的三条边长分别为4，5，7，则这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.钝角或锐角三角形【解析】选C.边长为7的边所对的角为最大角，不妨设为C，由余弦定理得cosC=所以C为钝角，此三角形为钝角三角形.222457102455＜4.在△ABC中，AB=4，BC=3，B=60°，则AC等于__________.【解析】由条件已知三角形的两边及其夹角，故可以直接利用余弦定理求得边AC，即AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=16+9-2×4×3×=13.所以AC=答案：1213.135.在△ABC中，若a2-c2+b2=ab，则cosC=__________.【解析】由余弦定理得：cosC=答案：222abcab1.2ab2ab212【知识探究】知识点余弦定理观察图形，回答下列问题：问题1：图(1)中，已知△ABC的两边a，c及夹角B，如何求b？问题2：图(2)中，已知△ABC的三边长，能否确定三个内角的大小？问题3：余弦定理的适用范围及结构特征是什么？【总结提升】对余弦定理的四点说明(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.【题型探究】类型一已知两边及一角解三角形【典例】1.(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=2，c=2，cosA=，且bc，则b=()A.B.2C.2D.3332322.在三角形ABC中，已知a=2，b=2，C=15°，解三角形.2【解题探究】1.典例1中求b的思路是什么？提示：由余弦定理得到关于b的方程，解方程求解.2.典例2中已知角C是已知边a，b的夹角，如何求边c？提示：利用余弦定理直接求c.【解析】1.选B.由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，所以22=b2+(2)2-2×b×2×，即b2-6b+8=0，解得：b=2或b=4，因为bc，所以b=2.33322.方法一：cos15°=cos(45°-30°)=由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=4+8-2×(+)=8-4，所以c=-.又ba，所以BA，所以角A为锐角.62.4262362由正弦定理，得sinA=因为0°A90°，所以A=30°，所以B=180°-A-C=180°-30°-15°=135°.a2621sinC.c4262方法二：cos15°=cos(45°-30°)=由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC所以c=所以cosA=又0°A180°，所以A=30°，所以B=180°-A-C=180°-30°-15°=135°.624，4822(62)843，62.222bca3.2bc2【延伸探究】若典例2中条件变为“a=，b=，B=45°”，则如何解三角形？【解析】方法一：由余弦定理知b2=a2+c2-2accosB，所以即c2-c+1=0，解得c=或c=.322223c23c2，6622622当c=时，由余弦定理得cosA=因为0°A180°，所以A=60°，所以C=75°.当c=时，由余弦定理得所以A=120°，C=15°.6222222622()3bca12.2bc262222622222bcacosA2bc2622()312.262222方法二：由正弦定理知sinA=因为a==b，所以A有两解.所以A=60°或120°.当A=60°时，C=75°,这时c=当A=120°时，C=15°，这时c=asinB3sin453.b2232623asinC624.sinA232623asinC624.sinA232【方法技巧】1.已知两边及其中一边的对角解三角形的方法(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边.要注意判断解的情况.(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长.这样可免去取舍解的麻烦.2.已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.【变式训练】在△ABC中，已知A=120°，a=7，b+c=8，求b，c.【解析】由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc(1+cosA)，所以49=64-2bc(1-)，即bc=15，由解得或12bc8bc15，，b3c5，b5c3.，【补偿训练】1.在△ABC中，边a，b的长是方程x2-5x+2=0的两个根，C=60°，则c=__________.【解析】由题意：a+b=5，ab=2.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19.所以c=.答案：19192.在△ABC中，已知b=3，c=3，B=30°，试解此三角形.3【解析】方法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得32=a2+(3)2-2a×3×cos30°，所以a2-9a+18=0，得a=3或6.当a=3时，A=30°，所以C=120°.当a=6时，由正弦定理sinA=所以A=90°，C=60°.3316asinB21.b3方法二：由bc，B=30°，bcsin30°=3×=知本题有两解.由正弦定理sinC=所以C=60°或120°.当C=60°时，A=90°，由勾股定理312332133csinB32b32，2222abc3(33)6，当C=120°时，A=30°，△ABC为等腰三角形，则a=3.类型二已知三边解三角形【典例】1.在△ABC中，若a=7，b=4，c=，则△ABC的最小角为________.2.已知△ABC的三边长为a=2，b=2，c=解此三角形.3133262,【解题探究】1.在典例1的三角形中，边和角有怎样的大小对应关系？提示：大角对大边，故此△ABC的最小角为角C.2.典例2中，可按什么顺序求解三角形？提示：已知三边解三角形可先利用余弦定理求出两个角的余弦值进而求出这两个角，再利用内角和定理求出第三个角.【解析】1.因为cba，所以最小角为角C.所以cosC=，所以C=答案：222abc49481332ab22743.662.由余弦定理得：所以A=60°.cosB=所以B=45°，所以C=180°-A-B=75°.222bcacosA2bc222(22)(62)(23)12222(62)，222222acb(23)(62)(22)22ac2223(62)，【延伸探究】1.(变换条件)若将典例1中“a=7”改为“cosA=”，其他条件不变，那么如何求△ABC的最小角？3926【解析】由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=(4)2+()2-2×=48+13-12=49，31339431326所以，a=7，所以cba，所以最小角为角C.所以cosC=所以C=.222abc49481332ab22743，62.(改变问法)若典例1条件不变，如何求最大角的余弦值呢？【解析】因为cba，所以最大角为角A，所以由余弦定理可得：cosA=故△ABC的最大角的余弦值为.222222bca(43)(13)72bc2431348134939.2683939263.(变换条件、改变问法)典例1中若将“c=”改为“C=”，其他条件不变，则最大角的余弦值为多少？136【解析】由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=72+(4)2-2×7×4cos=49+48-84=13，336所以，c=，所以cba.所以最大角为A，由余弦定理得：cosA=故△ABC的最大角的余弦值为13222222bca(43)(13)72bc2431348134939.2683939.26【方法技巧】已知三边解三角形的方法及注意事项(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一.(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小.(3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解.【补偿训练】1.在△ABC中，已知BC=7，AC=8，AB=9，试求AC边上的中线长.【解析】由余弦定理知cosA=设中线长为x，由余弦定理知：x2==42+92-2×4×9×=49，所以x=7.所以AC边上的中线长为7.222222ABACBC98722ABAC2983，22ACAC()AB2ABcosA22232.已知三角形的三边长分别为x2+x+1，x2-1和2x+1(x1)，求这个三角形的最大角.【解析】因为x1，所以(x2+x+1)-(x2-1)=x+20，(x2+x+1)-(2x+1)=x2-x=x(x-1)0.所以x2+x+1是三角形中的最大边.该边所对的角是最大角，设此最大角为A，则cosA=因为0°A180°，所以A=120°，即三角形的最大角为120°.222222(x1)(2x1)(xx1)12(x1)(2x1)2，类型三判断三角形的形状【典例】1.(2015·武冈高二检测)在△ABC中，已知sinA=2cosB·sinC，则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.不确定2.在△ABC中，(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=2sinB·cosC，试判断△ABC的形状.【解题探究】1.典例1中，如何根据等式判断三角形的形状？提示：可利用正弦定理将“角”化为“边”，再利用余弦定理寻找边与边之间的关系来判断三角形形状.2.典例2中，判断三角形形状的思路是什么？提示：可以先利用三边之间的数量关系式，应用余弦定理求角A，再应用三角公式求出另外两角，进而判断△A