人教版高中数学必修五同课异构课件22等差数列221精讲优练课型

2.2等差数列第1课时等差数列【知识提炼】1.等差数列的定义条件(1)从第__项起(2)每一项与它的_______的差等于___________结论这个数列就叫做等差数列有关概念这个常数叫做等差数列的_____，通常用字母__表示2前一项同一个常数公差d2.等差中项(1)条件：三个数a，A，b成等差数列.(2)结论：A叫做a，b的等差中项.(3)关系：_______.abA23.等差数列的通项公式(1)条件：等差数列{an}的首项为a1，公差为d.(2)通项公式：an=_________.a1+(n-1)d【即时小测】1.判断(1)常数列是等差数列.()(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()(3)数列{an}满足an+1-an=1(n1)，则数列{an}是等差数列.()(4)等差数列中从第二项起的任何一项都是相邻两项的等差中项.()【解析】(1)正确.常数列是公差为0的等差数列.(2)错误.这里未强调每一项与前一项的差是同一个常数，不符合等差数列的定义，因而是错误的.(3)错误.n1应改为n∈N*.(4)正确.等差数列中的任意相邻的三项都能成等差数列，所以该结论正确.答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2.已知实数m是1和5的等差中项，则m等于()A.B.±C.3D.±3【解析】选C.由题意得2m=1+5，解得m=3.553.等差数列{an}中，a2=-4，d=3，则a1为()A.-9B.-8C.-7D.-4【解析】选C.由题意得，a2=a1+d，所以a1=a2-d=-4-3=-7.4.等差数列{an}中，a1=3，an=21，d=2，则n=______.【解析】由a1=3，an=21，d=2得，21=3+2(n-1)，解得n=10.答案：105.等差数列-3，-1，1，…的通项公式为an=_______.【解析】等差数列-3，-1，1，…的首项为-3，公差为2，所以通项公式为an=-3+(n-1)×2=2n-5.答案：2n-5【知识探究】知识点1等差数列的定义观察图形，回答下列问题：问题1：数列0.3，0.6，0.9，1.2，1.5，1.8，2.1，2.4是等差数列吗？问题2：等差数列中相邻项之间有什么关系？【总结提升】1.等差数列定义的作用(1)判定一个数列是否是等差数列.(2)确定等差数列中任意两项的关系.2.对等差数列定义的三点说明(1)“从第2项起”：①第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；②定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.(2)“每一项与它的前一项的差”：这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻.(3)“同一个常数”：若一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于常数，但是常数不同，这个数列不是等差数列.知识点2等差中项观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：任意两个实数都有等差中项吗？问题2：能借助等差中项的定义证明一个数列是等差数列吗？【总结提升】对等差中项的两点说明(1)在等差数列中除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项.(2)如果an-an-1=an+1-an(n≥2)，则该数列{an}为等差数列，反之亦然.所以2an=an-1+an+1(n≥2)，则数列{an}为等差数列，这是判断一个数列是否为等差数列的一种方法.知识点3等差数列的通项公式观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？问题2：由等差数列的定义如何推导等差数列的通项公式？【总结提升】1.理解等差数列通项公式应注意的四点(1)由数列的首项a1与公差d，可写出通项公式.(2)由数列的任意两项，可确定其首项与公差.(3)由数列的通项公式可求数列的任意一项，也可判定某数是否为数列的项.(4)通项公式可变形为an=dn+(a1-d)，当d≠0时可把an看作自变量为n的一次函数.2.等差数列的通项公式常用的推导方法：(1)方法一(叠加法)：因为{an}是等差数列，所以an-an-1=d，an-1-an-2=d，an-2-an-3=d，…，a3-a2=d，a2-a1=d.将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d，所以an=a1+(n-1)d.(2)方法二(迭代法)：因为{an}是等差数列，所以an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.即an=a1+(n-1)d.(3)方法三(逐差法)：因为{an}是等差数列，则有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.【拓展延伸】一次函数与等差数列的关系解析表达式(通项公式)定义域图象等差数列an=kn+b(其中k=d，b=a1-d)n∈N*直线上的孤立的点一次函数y=kx+bx∈R直线【题型探究】类型一等差数列的通项公式及应用【典例】1.(2015·金沙高一检测){an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an=2017，则序号n等于()A.667B.668C.669D.6732.(2015·泰兴高一检测)在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=________.3.数列{an}是公差不为零的等差数列，且a20=22，|a11|=|a51|，求an.【解题探究】1.典例1中，首项a1、公差d、序号n、通项an之间有什么关系？提示：an=a1+(n-1)d.2.典例2中，由条件是否可以求出等差数列{an}的首项和公差？3a5+a7与a3+a8是否有关系？提示：由条件无法求出等差数列{an}的首项和公差.借助等差数列的通项公式可以分析出3a5+a7与a3+a8有关系.3.典例3中，如何利用题目条件计算等差数列的首项和公差？提示：首先根据题目条件列出关于公差的方程，然后再求首项.【解析】1.选D.由题意得an=1+(n-1)×3=3n-2，由an=2017得2017=3n-2，解得n=673.2.设等差数列{an}的公差为d，a3+a8=a1+2d+a1+7d=2a1+9d=10，3a5+a7=3(a1+4d)+a1+6d=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.答案：203.设数列{an}的公差为d，因为a20=22，|a11|=|a51|，所以|22-9d|=|22+31d|.因为d≠0，所以22-9d=-22-31d.所以d=-2，所以a1=22-19×(-2)=60.所以an=-2n+62.【方法技巧】1.求等差数列通项公式的步骤2.等差数列通项公式中的四个参数及其关系等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d四个参数a1，d，n，an“知三求一”知a1，d，n求an知a1，d，an求n知a1，n，an求d知d，n，an求a1【变式训练】在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a20，an.【解题指南】先根据两个独立的条件解出两个量a1和d，进而再写出an的表达式.几个独立的条件就可以解出几个未知量，这是方程组的重要应用.【解析】因为a5=10，a12=31，则解得所以an=a1+(n-1)d=3n-5，a20=a1+19d=55.11a4d10a11d31，，1a2d3，，类型二等差数列的判定【典例】已知数列{an}是等差数列，设bn=2an+3，求证：数列{bn}也是等差数列.【解题探究】本例中要证明数列{bn}是等差数列，只要证明什么？提示：只要证明bn+1-bn是一个与n无关的常数.【证明】因为数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an+1-an=d.从而bn+1-bn=(2an+1+3)-(2an+3)=2(an+1-an)=2d.它是一个与n无关的常数，所以数列{bn}是等差数列.【延伸探究】1.(变换条件)本例条件改为an=7n+2，bn=lgan，所证结论不变，应如何证明.【证明】bn+1-bn=lgan+1-lgan=(n+3)lg7-(n+2)lg7=lg7.所以数列{bn}是等差数列，即数列{lgan}是等差数列.2.(变换条件、改变问法)本例条件改为n∈N*且a1=1，an0，求an.22n1naa4,【解析】因为所以n∈N*又=1，所以数列{}是首项为1，公差为4的等差数列.所以=1+(n-1)×4=4n-3，又an0，所以an=22n1naa4,22n1naa4,21a2na2na4n3.【方法技巧】1.定义法判定等差数列(1)条件：an+1-an=d(常数)(n∈N*)或an-an-1=d(常数)(n1，n∈N*).(2)结论：{an}是等差数列.(3)应用范围：通常用于解答题.2.通项公式法判定等差数列(1)条件：数列{an}的通项公式满足一次函数关系式an=kn+b(k，b是常数).(2)结论：{an}是等差数列.(3)应用范围：通常用于选择、填空题.【补偿训练】设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100.(1)求证：数列{an+bn}是等差数列.(2)求数列{an+bn}的通项公式.【解析】(1)设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2，n∈N*，它是一个与n无关的常数，所以{an+bn}为等差数列.(2)由(1)知数列{an+bn}是等差数列，因为a1+b1=a2+b2=100，所以{an+bn}为常数列，所以an+bn=100.【延伸探究】1.(改变问法)在本题条件下，证明数列{an+2bn}是等差数列.【证明】设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an+1+2bn+1)-(an+2bn)=(an+1-an)+2(bn+1-bn)=d1+2d2，n∈N*，它是一个与n无关的常数，所以数列{an+2bn}为等差数列，2.(变换条件、改变问法)本题条件改为an=(n+1)2，bn=n2-n(n∈N*)，求证：数列{an-bn}是等差数列.【证明】an-bn=(n+1)2-(n2-n)=(n2+2n+1)-(n2-n)=3n+1，(an+1-bn+1)-(an-bn)=[3(n+1)+1]-(3n+1)=3，所以数列{an-bn}是等差数列.类型三等差中项及其应用【典例】1.(2015·白鹭洲高一检测)-1，的等差中项为________.2.已知成等差数列，求证：也成等差数列.2121111abc，，bcacababc，，【解题探究】1.典例1中，等差中项的定义是什么？如何计算两个数的等差中项？提示：若a，A，b成等差数列，则A是a与b的等差中项，A=.可直接利用等差中项的定义求解.ab22.典例2中，要证成等差数列，只要证明什么？提示：只要证明bcacababc，，bcab2(ac).acb【解析】1.的等差中项为答案：12121，11(21)2211(2121)2.222.因为成等差数列，所以即2ac=b(a+c).因为所以成等差数列.111abc，，211bac，22bcabc(bc)a(ab)cab(ac)acacac222ac2ac2(ac)2(ac)acb(ac)b，bcacababc，，【方法技巧】1.等差中项的计算(1)条件：若A是a与b的等差中项.(2)计算公式：A=2.等差中项法判定等差数列(1)条件：2an+1=an+an+2(n∈N*).(2)结论：{an}是等差数列.ab.2【变式训练】已知a，b，c成等差数列，那么a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)是否成等差数列？【解析】因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b.又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a2c+c2a-2abc=ac(a