人教版高中数学必修五同课异构课件312不等式的性质精讲优练课型

第2课时不等式的性质【知识提炼】不等式的性质性质1对称性：ab⇔____.性质2传递性：ab，bc⇒____.性质3可加性：ab⇔________.baaca+cb+c性质4可乘性：⇒______，⇒______.性质5同向可加性：⇒________.性质6同向同正可乘性：⇒______.性质7可乘方性：ab0⇒_____(n∈N，n≥1).性质8可开方性：ab0⇒(n∈N，n≥2).abc0acbcabc0acbcabcda+cb+dab0cd0acbdanbnnnab【即时小测】1.判断(1)ab⇔ac2bc2.()(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.()(3)若ab0，则ab⇔.()11ab【解析】(1)错误.当c=0时，由ab推不出ac2bc2.(2)错误.同向不等式相加时，已知数可以为任意实数，同向不等式相乘时，要求已知数是正数.(3)正确.因为ab0，所以ab的两边同除以ab可得即反之，的两边同乘以ab可得ba，即ab.答案：(1)×(2)×(3)√11ba＞，11.ab11ab2.设a，b，c∈R，且ab，则()A.acbcB.C.a2b2D.a3b3【解析】选D.若c≤0，则A错；若a0，b0，则B错；若a=0，b=-1，则C错，选D.11ab3.如果a，b，c满足cba，且ac0，那么下列选项中不一定成立的是()A.abacB.c(b-a)0C.cb2ab2D.ac(a-c)0【解析】选C.由题意知c0，a0，b-a0，a-c0，所以A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b=0时C不正确.4.若xy，ab，则①a-xb-y；②a+xb+y；③axby；④x-by-a.这四个式子中，恒成立的不等式的序号是________.【解析】因为xy，ab，所以-b-a，所以a+xb+y；x-by-a.当x=1，y=-1，a=1，b=-1时，a-x=b-y=0，ax=by=1，故①③错误.答案：②④5.若a∈(60，84)，b∈(28，33)，则∈______.【解析】因为b∈(28，33)，所以又60a84，所以答案：ab111.33b2820a3.11b20(3)11，【知识探究】知识点不等式的性质观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：哪些不等式的性质是“双向”的？问题2：哪些不等式的性质要求已知数为正数？【总结提升】1.对不等式的性质的六点说明(1)性质1和2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识.(2)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据.(3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.(4)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”.(5)性质6，7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式.(6)性质7，8可并为函数y=xn(n0)在(0，+∞)上递增.(7)性质1，3是单向推导，其他是“双向”推导.2.对利用不等式的性质证明不等式的说明(1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b0⇒ab；a-b=0⇒a=b；a-b0⇒ab.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.(2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.(3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用.【题型探究】类型一利用不等式的性质判断或证明不等式【典例】1.(2014·四川高考)若ab0，cd0，则一定有()2.设abc，求证：ababababA.B.C.D.cdcddcdc1110.abbcca＞【解题探究】1.典例1中，如何判断的大小关系？要构造出的关系，需要进行什么运算？提示：在不等式cd两边同除以cd，可以判断的大小关系.同向不等式相乘可以构造出的关系.11cd与ababcddc与，与11cd与ababcddc与，与2.典例2中，证明的基本步骤是什么？提示：先确定，再根据b-c0证得.110abca＞【解析】1.选D.方法一：因为cd0，所以即与ab0对应相乘得，所以方法二：令a=3，b=2，c=-3，d=-2，则排除选项A，B；又所以所以选项C错误，选项D正确.110dc＜110dc＞，ab0dc＞，ab.dcab11cd，，a3b2d2c3，，abdc，2.因为abc，所以-c-b，所以a-ca-b0，所以所以又因为b-c0，所以所以110abac＞＞，110abca+＞，10.bc＞1110.abbcca＞【方法技巧】1.运用不等式的性质判断真假的技巧(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质.(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.2.利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点(1)实质：利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式变形.(2)注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.【拓展延伸】不等式中的倒数性质(1)ab，ab0⇒(2)a0b⇒(3)ab0，0cd⇒(4)0axb或axb0⇒11.ab11.abab.cd111.bxa【变式训练】已知ab0，cd0，求证：【证明】因为ab0，cd0，所以acbd0.又因为cd0，所以0.所以ac·bd·0，即所以ab.dc1cd1cd1cdab0.dcab.dc【补偿训练】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：【证明】因为c＜d＜0，所以-c＞-d＞0.又因为a＞b＞0，所以a-c＞b-d＞0.所以(a-c)2＞(b-d)2＞0.所以0＜又因为e＜0，所以22ee.acbd＞2211.acbd＜22ee.acbd＞类型二利用不等式的性质比较大小【典例】设a0，b0且a≠b，P=aabb，Q=abba，试比较P与Q的大小.【解题探究】本例中，为了比较P与Q的大小需要用什么方法？提示：需要用作商法，先比较与1的大小关系，再由不等式的性质得出P与Q的大小关系.PQ【解析】因为a0，b0，所以P0，Q0，因为=aa-b·bb-a=a≠b，所以当ab0时，1，a-b0，则1，于是PQ.当ba0时，01，a-b0，则1，于是PQ.综上所述，对于不相等的正数a，b，都有PQ.abbaPabQababa()b，ababa()bababa()b【延伸探究】1.(变换条件)本例条件改为结果如何？【解析】因为(x+2)(x+5)-(x+3)(x+4)=-2＜0，且x≥-2，Px2x5，Qx3x4x2，22Px2x52x72x2x5，22Qx3x42x72x3x4，所以0≤(x+2)(x+5)＜(x+3)(x+4)，所以所以P2＜Q2，又因为P0，Q0，所以P＜Q.x2x5x3x4＜，2.(变换条件、改变问法)本例条件改为已知a0，且a≠1，试比较log0.5与log2的大小.【解析】(1)当a1时，a2(a-1)0，所以32a1a1PaQa，，PQPQ322a1a1aa1PaaQ，2aa10Paa1.Q(2)当0a1时，a2(a-1)0，所以综上知，1，所以log0.5＜0，log2＞0，所以log0.5＜log2.2aa10Paa1.QPQPQPQPQPQ【方法技巧】比较大小的常用方法(1)作差法.作差后通过分解因式、配方等手段，充分利用a2，|a|，的非负性判断差的符号，然后根据以下结论判断大小：若A-B0，则AB；若A-B=0，则A=B；若A-B0，则AB.a(2)作商法.借助不等式的性质4可得如下结论：若B0，1，则AB；若B0，1，则AB.(3)中间量法.借助不等式的性质2，即ab，bc，则ac，一般选择0或1为中间量.ABAB(4)乘方转化法.对于两个根式大小的比较，可以利用ab0⇒anbn(n∈N，n≥1)，ab0⇒(n∈N，n≥2)转化后比较大小.nnab【补偿训练】已知a0且a≠1，p=loga(a3+1)，q=loga(a2+1)，比较p与q的大小.【解析】p-q=loga(a3+1)-loga(a2+1)当a1时，a3+1a2+1，所以1，所以loga0；当0a1时，a3+1a2+1，所以1，所以loga0.总之，p-q0，所以pq.3a2a1log.a132a1a132a1a132a1a132a1a1【延伸探究】1.(变换条件)本题条件改为a≥1，p=和q=结果如何？【解析】因为p-q=a1aaa1a1a(aa1)11a1a1.a1aaa1a1aaa1因为a≥1，所以0≤a-1a+1，所以即又因为0，所以p-q0.即p＜q.a1a1，a1a10.a1aaa10，2.(变换条件、改变问法)本题条件改为a0，p=aa，q=3a，且pq，试求a的取值范围.【解析】因为q=3a0，且pq.所以当0a≤3时，0≤1，则≤1，即p≤q；当a3时，1，则1，即pq.综上知，a3.aaapaa()1q33，a3aa()3a3aa()3类型三利用不等式的性质求取值范围【典例】1.设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的取值范围是________.2.已知-6a8，2b3，分别求2a+b，a-b，的范围.2xy34xyab【解题探究】1.典例1中，与的关系是什么？求范围的步骤是什么？提示：由可先求和的范围，再求的范围.34xy22x1yxy，32242xx1()yyxy22x()y21xy34xy2.典例2中，求2a+b，a-b，的取值范围的基本步骤分别是什么？提示：对于2a+b的范围可先求2a的取值范围，再求2a+b的取值范围；对于a-b的范围可先求-b的取值范围，再求a-b的取值范围；对于的范围可先求的取值范围，再求的取值范围.ababab1b【解析】1.，由4≤≤9，3≤xy2≤8，得16≤()2≤81，得2≤≤27.答案：［2，27］32242xx1()yyxy2xy2xy21118xy3，34xy2.因为-6a8，所以-122a16.又2b3，所以-102a+b19.因为2b3，所以-3-b-2.又-6a8，所以-9a-b6.因为2b3，所以111.3b2(1)当0≤a8时，0≤4；(2)当-6a0时，-30.综合(1)(2)得-34.ababab【延伸探究】本典例2条件改为12a60，15b36，结果如何？【解析】因为12a60，所以242a120.又因为15b36，所以392a+b156，即2a+b的取值范围是(39，156).因为15b36，所以-36-b-15.又因为12a60，所以12-36