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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 人教版高中数学必修五同课异构课件331二元一次不等式组与平面区域3312精讲优练
第2课时二元一次不等式组表示的平面区域【知识提炼】1.二元一次不等式组的有关概念(1)定义:由几个_______________组成的不等式组.(2)二元一次不等式组的解集:满足二元一次不等式组的x和y的取值构成_______________,所有这样的________________构成的集合称为二元一次不等式组的解集.二元一次不等式有序数对(x,y)有序数对(x,y)2.二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的_____,即各个不等式表示的平面区域的公共部分.交集【即时小测】1.思考下列问题(1)每一个二元一次不等式组都能表示平面上一个区域吗?提示:不一定.当不等式组的解集为空集时,不等式组不表示任何图形.(2)不等式组表示的平面区域有何特点?提示:不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分,可能是封闭的,也可能是开放的区域.2.不等式组表示的区域为D,点P1(0,-2),P2(0,0),则()A.P1∉D且P2∉DB.P1∉D且P2∈DC.P1∈D且P2∉DD.P1∈D且P2∈Dyxxy1y3,,【解析】选C.将点P1,P2的坐标代入不等式组中的各不等式,可知点P1的坐标满足三个不等式,点P2的坐标不满足yx,所以P1∈D且P2∉D.3.x≥0,y≥0及x+y≤4所围成的平面区域的面积是()A.4B.6C.8D.10【解析】选C.如图,画出不等式表示的平面区域可知,该区域为等腰直角三角形,其面积为8.4.点集A=点M(1,1)与点集A的关系是________.【解析】将点(1,1)代入集合中的三个不等式,满足x+2y-1≥0,y≤x+2,2x+y-5≤0,故点M∈A.答案:M∈Ax2y10{(xy)|yx22xy50,,,},5.表示如图阴影部分的二元一次不等式组是________.【解析】图中两直线方程分别为x+y-1=0和x-2y+2=0.阴影部分在x+y-1=0的右上方,x-2y+2=0的右下方,所以x+y-1≥0,x-2y+2≥0.答案:xy10x2y20,【知识探究】知识点二元一次不等式组表示的平面区域观察如图所示内容,回答下列问题:2xy50xy0xy3.,,问题1:不等式组表示的平面区域与各不等式表示的平面区域有什么关系?问题2:哪些问题可转化为二元一次不等式组的平面区域问题?【总结提升】1.对二元一次不等式组表示平面区域的理解(1)含义.不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.(2)画法.不等式组表示的平面区域的画法依然采用“直线定界,特殊点定域”的方式.在作直线的过程中,作图要规范,相对的位置要准确,用特殊点代入Ax+By+C定域时,若C≠0,则一般选取(0,0)代入;当C=0时,一般选取点(1,0)或(0,1).2.可化为二元一次不等式(组)的平面区域问题(1)涉及由两个二元一次不等式相乘构成的不等式:可依据同号或异号分情况转化为两个不等式组,然后把两个不等式组表示的平面区域合并起来,即得到原不等式表示的平面区域.如(x+y)(x-y+1)≥0⇔或xy0xy10,xy0xy10.,(2)含绝对值的不等式:分情况去掉绝对值,转化为等价的不等式组,再用平面区域表示.(3)与函数相关的不等式(组)问题:结合函数的定义域、图象、性质转化成相应的不等式(组),再用平面区域表示.【题型探究】类型一二元一次不等式组表示的平面区域【典例】1.不等式组表示的平面区域是()x2y10xy40,2.如图,能表示平面中阴影区域的不等式组是________.3.试用不等式组表示由直线x+y+2=0,x+2y+1=0,2x+y+1=0围成的三角形区域(包括边界).【解题探究】1.典例1中如何确定不等式组表示的平面区域?提示:利用图象,借助特殊点,找出不等式x+2y+10及x-y+40表示区域的公共部分即可.x2y10xy40,2.典例2中阴影区域边界所表示的直线方程可设为什么形式?提示:可设直线方程为截距式.3.典例3中画出三条直线后可用什么方法验证三角形表示的区域?提示:可用特殊点,如(0,0)代入验证即可.【解析】1.选B.把点(0,0)代入不等式组验证可知,点(0,0)满足不等式x+2y+10,不满足x-y+40.结合图象可知选B.x2y10xy40,,2.设直线方程为=1,①将(-1,0),(0,2)代入①得2x-y+2=0.将(0,0)代入上式是20,将(3,0),(0,2)代入①得2x+3y-6=0,将(0,0)代入上式得-60,xyab所以阴影区域所对应的不等式组为答案:2xy202x3y60y0.,,2xy202x3y60y0,,3.画出三条直线,并用阴影表示三角形区域,如图.取原点(0,0),将x=0,y=0代入x+y+2,得20,代入x+2y+1,得10,代入2x+y+1,得10.结合图形可知,三角形区域用不等式组可表示为xy20x2y102xy10.,,【延伸探究】将典例2中的图形变为则用二元一次不等式组如何表示图中的阴影部分?【解析】阴影区域边界的直线方程分别是x=0,y=0,y=2,2x-y+4=0.由阴影部分知点的横坐标小于等于零,且纵坐标在0和2之间,故x≤0,0≤y≤2,又把原点的坐标代入2x-y+4得其值大于0,故阴影部分满足不等式:2x-y+4≥0,所以所求二元一次不等式组为0y2x02xy40.,,【方法技巧】画二元一次不等式组表示平面区域的一般步骤【知识拓展】含有绝对值的不等式的平面区域的表示法(1)去绝对值符号,从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式.(2)一般采用分象限讨论去绝对值符号.(3)利用对称性可避免对绝对值的讨论.(4)在方程f(x,y)=0或不等式f(x,y)0中,若将x(或y)换成-x(或-y),方程或不等式不变,则这个方程或不等式所表示的图形就与原方程或不等式所表示的图形关于y(或x)轴对称.【变式训练】画出不等式组所表示的平面区域.2xy40x2yy0,,【解析】先画出直线2x+y-4=0,由于含有等号,所以画成实线.取直线2x+y-4=0左下方的区域的点(0,0),由于2×0+0-40,所以不等式2x+y-4≤0表示直线2x+y-4=0及其左下方的区域.同理对另外两个不等式选取合适的测试点,可得不等式x2y表示直线x=2y右下方的区域,不等式y≥0表示x轴及其上方的区域.取三个区域的重叠部分,就是上述不等式组所表示的平面区域,如图所示类型二与二元一次不等式组表示的平面区域相关问题【典例】1.(2015·重庆高考)若不等式组表示的平面区域为三角形,且面积等于,则m的值为()A.-3B.1C.D.3xy20x2y20xy2m0,,43432.若不等式组所表示的平面区域被直线mx+y+2=0分为面积相等的两部分,则实数m的值为____.3.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积为________.x0xy203xy60,,xy20xy20x2,,【解题探究】1.典例1中画不等式组表示平面区域的根据是什么?提示:首先根据表示的平面区域为三角形这一条件画出阴影部分,然后根据面积即可求出参数的值.2.典例2中的直线mx+y+2=0是否过定点?提示:直线过定点(0,-2).3.典例3中要求所表示的平面区域面积的关键是什么?提示:关键是正确画出平面区域,再数形结合计算面积.【解析】1.选B.根据题意画出不等式组表示的平面区域如图由图可知A(1-m,1+m),B(2,0),且A为直角.因为|AB|=|1+m|,|AC|=|1+m|,三角形ABC的面积S=|AB||AC|=|1+m|2=,解得m=1或m=-3.当m=-3时,表示的平面区域不存在,所以m=1.24m22mC()33,,2231213432.满足不等式组的平面区域(阴影部分)如图所示:x0xy203xy60,,直线mx+y+2=0恒经过点A(0,-2),当直线mx+y+2=0经过BC的中点时,平面区域被直线mx+y+2=0分为面积相等的两部分.由题意知B(2,0),C(0,-6),则BC的中点为(1,-3),代入直线方程mx+y+2=0得:m=1.答案:13.在平面直角坐标系中,作出x+y-2=0,x-y+2=0,和x=2三条直线,利用特殊点(0,0)可知表示的平面区域如图阴影部分所示,其面积S=4×2×=4.答案:412【延伸探究】1.(变换条件)典例2中,若将直线改为“x+my-2=0”,其他条件不变,求实数m的值.【解析】满足不等式组的平面区域(阴影部分)如图所示:x0xy203xy60,,直线x+my-2=0恒过定点(2,0),正好为图中阴影区域中的点B(2,0),当直线x+my-2=0经过AC的中点时,平面区域被直线x+my-2=0分成面积相等的两部分,由题意知A(0,-2),C(0,-6),则AC的中点为(0,-4),代入直线方程x+my-2=0得m=-.122.(改变问法)将典例2中的“被直线mx+y+2=0分为面积相等的两部分”改为“被直线x+y+2=0划分”,求此直线将平面区域分成两部分的面积比.【解析】由x+y+2=0可得,直线过点(0,-2),不等式组所表示的平面区域如图所示:由解得M(1,-3),通过验证点M正好为点BC的中点,因此直线x+y+2=0将阴影区域分成了面积相等的两部分.故分成两部分的面积比为1∶1.xy203xy60,,【方法技巧】求平面区域面积的方法求平面区域的面积,先画出不等式组表示的平面区域,然后根据区域的形状求面积.(1)若画出的平面区域是规则的,则直接利用面积公式求解.(2)若平面区域是不规则的,可采用分割的方法,将平面区域分成几个规则图形求解.【补偿训练】不等式组表示的平面区域的面积为________.yxx2y4y2,,【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图阴影所示.可以求得点A的坐标为点B的坐标为(-2,-2),点C的坐标为(8,-2),所以△ABC的面积是答案:yxx2y4y2,,44()33,,145082[2].233[]503【延伸探究】若本题中不等式所表示的平面区域的面积被直线3kx+3y-4k-4=0分为面积相等的两部分,求k的值.【解析】直线3kx+3y-4k-4=0的方程可以化为k(3x-4)+3y-4=0,过定点.正好是解析中区域三角形ABC的顶点A.因此只有直线过BC中点时,直线3kx+3y-4k-4=0能平分平面区域.因为B(-2,-2),C(8,-2),所以BC中点M(3,-2).将点M的坐标代入直线3kx+3y-4k-4=0,可得9k-6-4k-4=0,所以k=2.44()33,类型三用二元一次不等式组表示实际问题【典例】1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工人工资预算2000元,设木工x人,瓦工y人,则工人所满足的数学关系式是________.2.甲、乙、丙三种药品中毒素A,B的含量及成本如下表:甲乙丙毒素A(单位/千克)600700400毒素B(单位/千克)800400500成本(元/千克)4911某药品研究所想用x千克甲种药品,y千克乙种药品,z千克丙种药品配成100千克新药,并使新药含有毒素A不超过56000单位,毒素B不超过63000单位.用x,y表示新药的成本M(元),并画出相应的平面区域.【解题探究】1.典例1中的工人预算工资为2000元有什么含义?提示:其含义为工人的工资不
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