人教版高中数学必修五同课异构课件332简单的线性规划问题1探究导学课型

3.3.2简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划的意义.3.会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.线性规划的基本概念(1)约束条件：由变量的不等式(或方程)组成的_________.(2)线性约束条件：关于x，y的___________(或方程)组成的不等式组.(3)目标函数：欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式.不等式组一次不等式(4)线性目标函数：关于变量x，y的___________.(5)可行解：满足_____________的解(x，y).(6)可行域：所有_______组成的集合.(7)最优解：使目标函数取得_______________的可行解.(8)线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的_______________问题.一次解析式线性约束条件可行解最大值或最小值最大值或最小值1.若实数x，y满足则S=2x+y-1的最大值是.【解析】可行域为如图所示的阴影部分，当可行解为A(2，3)时，Smax=6.答案：6x2y3xy1，，，2.已知实数x，y满足则目标函数z=x-2y的最小值是.【解析】如图，作出的阴影部分为可行域，由得即A(3，6)，经过分析可知直线z=x-2y经过A点时z取最小值-9.答案：-9y2xy2xx3，，，y2xx3，x3y6，，3.满足的平面区域图形为.【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由x=1平行于y轴而x-2y=-1与x轴不平行，知四边形ABCD为梯形.答案：梯形0x10y2x2y1，，－一、线性规划问题已知实数x，y满足求z=2x+y的取值范围.请思考下面的问题：探究1：此题中线性约束条件是，目标函数是.4xy62xy4，－，提示：线性约束条件是关于变量x，y的一次不等式组成的不等式组，故此题中的线性约束条件为目标函数是欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式，故此题中的目标函数为z=2x+y.答案：z=2x+y4xy62xy4，－；4xy62xy4，－探究2：目标函数z=2x+y中z的几何意义是什么？提示：由z=2x+y，得到y=-2x+z，该直线的斜率是-2，在y轴上的截距是z，即z为直线在y轴上的截距.探究3：如何求函数z=2x+y的取值范围？提示：作可行域如图阴影部分所示，求函数z=2x+y的取值范围，只需求目标函数的最大值与最小值，即求直线y=-2x+z在y轴上的截距z的最大值与最小值，如图，平移直线l，由图可知，当直线经过点A时，z有最大值，当直线经过点B时，z有最小值.解得A(5，1)，所以zmax=2×5+1=11，解得B(3，1)，所以zmin=2×3+1=7.所以函数z=2x+y的取值范围是[7，11].xy6xy4，－，xy4xy2，－，【探究总结】解线性规划问题的关注点(1)先确定线性约束条件及目标函数.(2)要确定目标函数的几何意义.(3)在求解目标函数的最值时，平移直线要做到规范、准确.(4)求目标函数的取值范围，一般不利用不等式的性质对二元一次不等式进行变形，因为这样会扩大变量的取值范围.【拓展延伸】确定线性规划问题中最优解的方法线性目标函数z=Ax+By+C(A，B不全为0)中，当B≠0时，这样线性目标函数可看成斜率为在y轴上的截距为且随z变化的一族平行线，则把求z的最大值或最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值的问题.因此只需先作出直线y=再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.AzCyxBB，AB，zCB，AxB，二、非线性规划问题探究1：式子x2+y2表示的几何意义是什么？式子(x-a)2+(y-b)2呢？提示：x2+y2可以看成所以x2+y2表示原点与可行域内的点(x，y)两点间距离的平方.式子(x-a)2+(y-b)2，可以看成所以(x-a)2+(y-b)2的几何意义是点(a，b)与可行域内的点(x，y)两点间距离的平方.222((x0)(y0))－－，222((xa)(yb))－－，探究2：式子表示的几何意义是什么？提示：表示点(a，b)与可行域内的点(x，y)两点连线的斜率.ybxa－－ybxa－－【探究总结】求非线性目标函数最值的关键求非线性目标函数最值的关键是弄清目标函数的几何意义，然后画出可行域，运用数形结合的方法求其最值.类型一求线性目标函数的最值1.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z=2x-3y的最小值是()A.-7B.-6C.-5D.-32.(2014·浙江高考)若实数x，y满足则x+y的取值范围是.xy10xy10x3－，－，，x2y40xy10x1，，，【解题指南】1.结合线性约束条件，画出可行域，将目标函数平移得最小值.2.根据约束条件画出可行域，平移目标函数求最大、最小值，即得x+y的范围.【自主解答】1.选B.由z=2x-3y，得3y=2x-z，即y=作出可行域如图所示，平移直线y=由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=在y轴上的截距最大，此时z取得最小值.解方程组得即B(3，4)，代入直线z=2x-3y，得zmin=3×2-3×4=-6，故选B.2zx.33－2x3，2zx33－2zx33－xy10x3－，x3y4，，2.作出不等式组所表示的区域，如图所示：令z=x+y，解方程组得C(2，1)，解方程组得B(1，0).平移直线z=x+y，经过点C使得z取最大值，即zmax=2+1=3，x2y40xy10x1，，x2y40xy10，，xy10x1，，当直线z=x+y经过点B时，z取最小值，即zmin=1+0=1，所以x+y的取值范围是[1，3].答案：[1，3]【延伸探究】在题1中，求z=2x-3y的最大值.【解析】由可行域可知当直线y=经过C点时，直线y=在y轴上的截距最小，此时z取得最大值.解方程组得即C(3，-2)，代入直线z=2x-3y，得zmax=3×2-3×(-2)=12.xy10x3－，x3y2，－，2zx33－2zx33－【规律总结】解线性规划问题的四个步骤(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域.(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线.(3)求：通过解方程组求出最优解.(4)答：根据所求得的最优解得出答案.类型二求非线性目标函数的最值1.(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A.2B.1C.D.2xy20x2y103xy80－－，－，－13－12－2.已知求(x+1)2+(y+1)2的最大值、最小值.【解题指南】1.本题可先根据题意画出平面区域，然后利用数形结合找出斜率的最值.2.由于(x+1)2+(y+1)2的几何意义表示点(x，y)与点(-1，-1)之间距离的平方，故画出可行域后，观察并找出可行域内与(-1，-1)距离最远和最近的点，并求出这两个距离的平方.2xy503xy50x2y50，，，【自主解答】1.选C.作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小.由得即D(3，-1)，此时OM的斜率为x2y103xy80－，－，x3y1，－，11.33－－2.作出可行域，如图所示，设d=(x+1)2+(y+1)2，则它表示可行域内的点与定点E(-1，-1)的距离的平方.由图可知，点C到定点E的距离最小，点B到定点E的距离最大.由解得B(3，4)，由解得C(2，1).所以当x=3，y=4时，dmax=(3+1)2+(4+1)2=41，当x=2，y=1时，dmin=(2+1)2+(1+1)2=13，即(x+1)2+(y+1)2的最大值为41，最小值为13.x2y503xy50－，－－，2xy503xy50－，－－，【规律总结】非线性目标函数最值的常见类型及其解法(1)型求最值.根据的几何意义，可转化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)连线的斜率的最值.(2)(x-a)2+(y-b)2型求最值.根据(x-a)2+(y-b)2的几何意义，可转化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)两点间距离的平方的最值.ybxa－－ybxa－－【变式训练】已知求：(1)z=x2+y2-10y+25的最小值.(2)z=的取值范围.xy20xy402xy50，，，2y1x1【解析】作出可行域如图所示，A(1，3)，B(3，1)，C(7，9).(1)z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0，5)的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故MN=所以所以z的最小值为2052332.2211｜｜22329MN()22，9.2(2)z=2·表示可行域内点(x，y)与定点连线斜率的2倍，因为所以z的取值范围是1y()2x(1)1Q(1)2，QAQB73kk48，，37.42，类型三根据目标函数的最值求参数1.(2015·沈阳高二检测)实数x，y满足若目标函数z=x+y的最大值为4，则实数a的值为.2.(2014·浙江高考)当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是.x1yaa1xy0，，，x2y40xy10x1，，【解题指南】1.结合线性约束条件，画出可行域，由目标函数取得最大值4，结合图形可求得a.2.先画出可行域，利用数形结合求解.【自主解答】1.作不等式组所表示的可行域如图所示，即点A(a，a)，作直线l：z=x+y，则z为直线l在y轴上的截距，当直线l经过可行域上的点A(a，a)时，直线l在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即zmax=a+a=2a=4，所以a=2.答案：2x1yaa1xy0，，yaxaxy0ya，，联立解得，，2.作出不等式组所表示的区域，由1≤ax+y≤4，由图可知，a≥0且在(1，0)点取得最小值，在(2，1)点取得最大值，所以a≥1，2a+1≤4，故a的取值范围为[1，].答案：[1，]x2y40xy10x1，，3232【规律总结】根据目标函数的最值求参数的解题思路采用数形结合，先画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标函数取最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解，再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件，即可求出参数的值或范围.【变式训练】(2013·北京高考)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0-2y0=2，求得m的取值范围是()2xy10xm0ym0－，，－41A.()B.()3325C.()D.()33－，－，－，－－，－【解析】选C.作出可行域如图所示：要使可行域存在，必有-m，m－2m+1，要求可行域内包含直线y=x－1上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线y=x－1上方，且(－m，m)在直线y=x－1下方，解不等式组321212123m2m12m2m.1312mm121mm12，－，得＜－－－－，－－，【加固训练】已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点(3，1)处取得最大值，求a的取值范围.【解析】由约束条件画出可行域，如图所示，点C的坐标为(3，1).因为目标函数仅在点C(3，1)处取得最大值，所以-akCD，即-a-1，