人教版高中数学必修五同课异构课件332简单的线性规划问题第2课时简单线性规划的应用情境

第2课时简单线性规划的应用在实际问题中常遇到两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理地安排和规划能以最少的人力、物力、资金等资源来完成它.下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用.1.体会线性规划的基本思想，并能借助几何直观解决一些简单的实际问题；(重点）2.利用线性规划解决具有限制条件的不等式；3.培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提高学生数学建模和解决实际问题的能力.一、用量最省问题例1营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?探究点1简单线性规划问题及在实际问题中的应用分析:将已知数据列成下表：0.070.140.1050.140.070.105BA脂肪/kg蛋白质/kg碳水化合物/kg食物/kg解:设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本为z.那么x,y满足的约束条件是:01050105007500701400601400700600.x.y.,.x.y.,.x.y.,x,y.①目标函数为z=28x+21y.作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.775,7146,1476,0,0.xyxyxyxy②二元一次不等式组①等价于zz是直在y上的截距，取最小值，2121z的值最小.然直要与可行域相交，即在足束件目函z=28x+21y取得最小值.线轴当时当线满约条时标数4z考z=28x+21y，它形y=-x+，3214是斜率-、z化的一族平行直.3虑将变为这为随变线xO1476xy7146xy37475767137576743yxy775xyM由图知,当直线经过可行域上的点M时,截距最小,即z最小.2821zxyz21解方程组得M的坐标为7751476xy,xy,14()77,.所以zmin=28x+21y=16.答：每天食用食物A约143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.解线性规划应用问题的一般步骤：1.理清题意，列出表格；2.设好变量，列出线性约束条件（不等式组）与目标函数；3.准确作图；4.根据题设精确计算.【提升总结】铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．【变式练习】15【解析】可设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，则根据题意得到约束条件为：x≥0，y≥0，0.5x＋0.7y≥1.9，x＋0.5y≤2，目标函数为z＝3x＋6y，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：zmin＝3×1＋6×2＝15.例2要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:A规格B规格C规格第一种钢板第二种钢板211213今需要A，B，C三种规格的成品分别15,18,27块，用数学关系式和图形表示上述要求．各截这两种钢板多少张可得所需A，B，C三种规格成品，且使所用钢板张数最少？规格类型钢板类型分析：列表A规格B规格C规格第一种钢板第二种钢板211213张数成品块数xy2xy2xy3xy解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截这两种钢板共z张，则21521832700xy,xy,xy,x,y.线性目标函数.zxy2x+y=15x+3y=27x+2y=18xOy0xyM作出一组平行直线z=x+y，当直线经过可行域上的点M时，z最小.作出可行域如图所示：由于都不是整数，而此问题中的最优解中，必须都是整数，所以点不是最优解.解方程组327,215,xyxy1839(,).55M1839,55得(,)xy,xy1839(,)55使截距z最小的直线为，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，=12xy它们是最优解.z=12.min答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张；两种截法都最少要两种钢板12张.两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？成分种类阿司匹林小苏打可待因每片价格(元)A(毫克/片)2510.1B(毫克/片)1760.2【变式练习】[解析]设A，B两种药品分别为x片和y片(x，y∈N)，则有2x＋y≥12，5x＋7y≥70，x＋6y≥28，x≥0，y≥0，两类药片的总数为z＝x＋y，两类药片的价格和为k＝0.1x＋0.2y.如图所示，作直线l：x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近．解方程组2x＋y＝12，5x＋7y＝70，得交点A坐标149，809.由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1.9，因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．例3一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t．现在库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？二、效益最佳问题解：设生产x车皮甲种肥料、y车皮乙种肥料，能够产生利润z万元，则目标函数为分析：列表418115甲种肥料乙种肥料磷酸盐(t)硝酸盐(t）总吨数车皮数4xy1815xyxy利润(元)10000500041018156600.，，约束条件为，xyxyxyz0.5.xyyxO123452468104=10xy1815=66xy作出可行域，2yxM直y=-2x+2z可行域上的M，z最大.当线经过点时变为把z=x+0.5y形y=-2x+2z,得到斜率为-2，在y轴上的截距为2z，随z变化的一族平行直线.max18x+15y=66,解方程得M的坐(2,2).4x+y=10,所以z=2+0.5×2=3.组标为答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元.某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每吨甲种产品的利润是600元，每吨乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过363t.甲、乙两种产品应各生产多少吨，能使利润总额达到最大?【变式练习】将已知数据列成下表：分析：A种矿石(t)B种矿石(t)煤(t)甲产品(1t)乙产品(1t)资源限额(t)利润(元)10546004491000300200363解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z元，则10x4y300,5x4y200,4x9y363,x0,y0;作出如图所示的可行域，3zz600x1000yyx.51000可变形为z600x1000y.54200xyyxO1010104300xy49363xy03:5lyxl线03作:y=-x及其平行，5M3z直y=-x+M，51000z最大.当线经过点时解方程组：5x4y200,4x9y363,标为得M的坐(12,35).答：甲、乙两种产品应各生产12t,35t，能使利润总额达到最大，利润总额最大为42200元.maxz6001210003542200.（元）得点例4若二次函数的图象过原点，且求的范围.()yfx(2)f3(1)4,f1(1)2,f设≠条关数数围线规识2f(x)=ax+bx(a0),由已知件可以得到于二次函y=f(x)的系a,b的不等式，f(-2)=4a-2b的范可用性分：划知析求解.探究点2利用简单线性规划求变量的范围2y=f(x)的象原，所以f(x)=ax+bx(a≠0).所以f(-1)=a-b,f(1)=a+b.1a-b2,所以3a+b4.f(-2)=4a-2b.令z=4a-2b解：因.图过点设为作出如图所示的可行域，变为线l0zz=4a-2b可形b=2a-.2作:b=2a及其平行.Oba122424AB2ba3ab1ab4ab2ab由图可知，z直b=2a-2可行域上的A，z截距-最大，即z最小.2zB，截距-最小，2即z最大.当线经过点时经过点时组组minmaxa-b=1,由方程得A(2,1).a+b=3所以z=4a-2b=4×2-2×1=6.a-b=2,由方程得B(3,1).a+b=4所以z=4a-2b=4×3-2×1=10.所以6f(-2)10.将求变量范围的问题巧妙地转化为简单的线性规划问题进行求解，减少了失误.【提升总结】已知f(x)=(3a-1)x+b-a,x∈[0,1],若f(x)≤1恒成立，则a+b的最大值是.53【变式练习】C1.（2013·湖南高考）若变量,xy满足约束条件，5-205352A．B．C．D．（）2.（2015·北京高考）若x，y满足010xyxyx≤，≤，≥，则2zxy的最大值为（）A．0B．1C．32D．2D【解析】如图，先画出可行域，由于2zxy，则1122yxz，令0Z，作直线12yx，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2.3.（2015·陕西高考）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润34zxy由题意可列3212,28,0,0,xyxyxy其表示如图阴影部分区域：当直线3x+4y-z=0过点A(2,3)时，Z取得最大值，所以max324318z，故选D．4.（2013·北京高考）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为___________.2551.设所求的未知数；2.列出约束条件；3.建立目标函数；4.作出可行域；5.运用图解法，求出最优解;6.实际问题需要整数解时，适当调整，确定最优解.一、利用简单的线性规划解决实际问题的一般步骤：二、利用线性规划知识解决具有限制条件的函数不等式.人生是个圆，有的人走了一辈子也没有走出命运画出的圆圈，他就是不知道，圆上的每一个点都有一条腾飞的切线。