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高度角度距离面积角度例5.一艘海轮从A出发,沿北偏东75o的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32o的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,则此船该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1o,距离精确到0.01nmile)解:∵在△ABC中,∠ABC=180o-75o+32o=137o,∴根据余弦定理,22222cos67.554.0267.554.0cos137113.15()ACABBCABBCABCnmilesinsin54.0sin137113.150.3255,BCABCCABAC根据正弦定理,故∠CAB≈19.0°,∴75°-∠CAB=56.0°.答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15nmile.13790ooABC变题:如图,甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处,且乙船正在向正北方向行驶,如果甲船的速度是乙船的3倍,问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船?60AB北C解:设甲船在C处追上乙船则依题意可知,3,120ACBCABC由正弦定理可得sin1201sin2BCBACAC30BAC答:甲船应以北偏东30o的方向前进才能尽快追上乙船。例6、我炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面的C和D处,其中观察所D恰好在炮兵阵地A的正西方,若已知CD=6km,45,75,ACDADC目标出现于地面B处时测得30,15BCDBDC.求目标B相对于炮兵阵地A的位置.(tan40.90.866)45753015ABCD解:∵在,18060ACDCADACDADC△中CD=6ACD=45又,,由正弦定理得sin4526sin60CDAD又∵在△ABC中180135CBDBCDBDC∴sin3032sin135CDBD157590ADB2242ABADBDtan0.866BDBADAD40.9BAD即角49.142BAkm答:目标位于北偏西,距离的位置45753015ABCD例6、我炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面的C和D处,其中观察所D恰好在炮兵阵地A的正西方,若已知CD=6km,45,75,ACDADC目标出现于地面B处时测得30,15BCDBDC.求目标B相对于炮兵阵地A的位置.(tan40.90.866)面积ABCcbaD如图,在△ABC中,AB边上的高CD=bsinA1sin2ABCSbcA△11sinsin22ABCSabCacB△同理可得求三角形面积的方法:(1)知一边及该边上的高:(2)知两边及其夹角:111222abcSahbhch111sinsinsin222SabCacBbcA例7.在△ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S(精确到0.1cm²)(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;(3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.21sin,2123.514.8sin148.590.9()2SacBScm解:(1)应用得例7.在△ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S(精确到0.1cm²)(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;(3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.sinsinsin3.16sin65.83.24()sinsin62.7bcBCbCccmB解:(2)180(62.765.8)51.5A又21sin3.163.24sin51.54.0().2SbcAcm例7.在△ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S(精确到0.1cm²)(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;(3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.222222cos238.741.427.30.7679()238.741.4acbBaccm解:(3)22sin1cos10.76970.6384()BBcm211sin38.741.40.6384511.4()22SacBcm例7.在△ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S(精确到0.1cm²)(4)已知;26,45abA,sin6sin453sin22bABa解:由正弦定理可得60120baBB或601804560751133sin26sin75222BCSabC(1)若,则故12018045120151133sin26sin15222BCSabC(2)若,则故例8、在△ABC中,角A、B、C所对边长分别为a、b、c,已知ac,ab=60,sinA=cosB,且该三角形的面积S=15,求角A的大小。∵ac,1sin2C∴∠C为锐角,故C=30o180150BCAA31sincoscos(150)cossin22ABAAAtan3A整理得120A1sin30sin152ABCSabCC解:的面积为作业:已知在ABC△中,内角ABC,,所对边的边长分别是abc,,,若2a,2223abcab.(1)求角C;(2)若ABC△的面积等于3,求ABC△的周长;ACB6060DE例3、在某海港A附近的海面上有一台风形成,如下图,若在早上9点钟的时候,有一渔船正处在A港南偏西60o,距离A港220km的海面上的B处,此时台风中心位于A港正南方240km海面上的C处,并以60km/h的速度沿北偏西60o的方向前进,为了避免不必要的损失,渔船准备以20km/h的速度回A港避风,若台风的影响范围是半径为100km的圆形区域,试求2小时后台风中心相对于渔船的位置,此时渔船是否受到台风的影响?240解:设2小时后渔船位于D点,台风中心位于E点,如图所示则CE=120km,AD=220-40=180km∵在△AEC中1201cos60cos2402ECACEACACB6060DE240∴AE⊥EC,∠EAC=30o,又∵∠DAC=60o∴∠DAE=30o1203AE222cos30603DEADAEADAE6031sin21203DEDAEAE∴∠ADE=90oF过D作DF⊥AC,则易知∠ADF=30o∴∠FDE=60o故此时台风中心在渔船东偏南60o,距离的位置上603603100故渔船此时没有受到台风的影响ACB例3、在某海港A附近的海面上有一台风形成,如下图,若在早上9点钟的时候,有一渔船正处在A港南偏西30o,距离A港105km的海面上的B处,此时台风中心位于A港正南方km海面上的C处,并以60km/h的速度沿北偏西30o的方向前进,为了避免不不要的损失,渔船准备以15km/h的速度回A港避风,试确定到中午12点时,台风中心相对于渔船的位置。12033030DE解:设12点时渔船位于D点,台风中心位于E点,如图所示则CE=180km,AD=105-45=60kmACB例3、在某海港A附近的海面上有一台风形成,如下图,若在早上9点钟的时候,有一渔船正处在A港南偏西30o,距离A港105km的海面上的B处,此时台风中心位于A港正南方km海面上的C处,并以60km/h的速度沿北偏西30o的方向前进,为了避免不不要的损失,渔船准备以15km/h的速度回A港避风,试确定到中午12点时,台风中心相对于渔船的位置。12033030DE变题:若早上10点时渔船开始受到台风的影响,已知该台风的侵袭范围是圆形区域,求台风影响范围的半径。ABCD例2、如图,在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15,向山顶前进100m后,又从点B测得斜度为45,假设建筑物高50m,求此山对于地平面的斜度奎屯王新敞新疆13.解:在△ABC中,AB=100m,CAB=15,ACB=4515=30由正弦定理:15sin30sin100BC∴BC=200sin15在△DBC中,CD=50m,CBD=45,CDB=90+由正弦定理:)90sin(15sin20045sin50cos=13,∴=42奎屯王新敞新疆94
本文标题:应用举例三角度及面积
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